Kombinatorik Garis Logika Berwarna

Kombinatorik Garis Logika Berwarna
       Armahedi Mahzar (c) 2014

Dalam blog yang lalu telah ditunjukkan bahwa kombinatorik huruf Ploucquet bisa digunakan  sebagai alat untuk mencari kesimpulan dari sebuah silogisme absah, lebih sederhana daripada  aritmetik logika mana pun, apakah aritmetika Boole, Peirce ataupun Sommers. Rahasianya adalah penggantian operasi biner aritmetik dengan operasi penggabungan, sedangkan operasi pembalikan tanda  dengan operasi pengubahan jenis huruf.

Metoda huruf besar kecil Ploucquet ini memang sederhana, namun jika tulisan huruf sebunyi diganti dengan gambar baris sewarna, maka silogisme menjadi lebih visual dan metodanya bisa diajarkan pada seorang anak pra-sekolah yang belum bisa membanca huruf-huruf. Oleh karena itu, untuk memvisualkan metoda huruf Ploucquet itu tampaknya kita bisa:
    - mengganti tulisan huruf kecil dengan gambar garis pendek
    - mengganti tulisan huruf besar dengan gambar garis panjang
   - mengganti nama huruf dengan warna-warna garis

Dengan demikian, maka dalam metoda kombinasi garis ini
- pengertian a dinyatakanoleh garis pendek  
- TIDAK a dinyatakan oleh garis panjang 
- a DAN b dinyatakan oleh penjajaran dua garis

Pernyataan  Kategoris Fundamental Aristoteles                       

Jika a =   dan b =, maka pernyataan kategoris fundamental Aristoteles dilukiskan sebagai berikut

Alasan dan kesimpulan suatu silogisme bentuknya adalah salah satu dari keempat pernyataan ini.

Pembuktian keabsahan Silogisme

Algoritma pembuktian meliputi langkah-langkah
    - menggabung gambar kedua alasan
    - membuang pasangan gambar garis sewarna yang berlawanan
   - meletakkan subyek alasan kedua sebagai subyek kesimpulan

Dengan notasi gambar seperti ini kita dapat melakukan pembutian silogisme-silogisme absah dengan mudah. Misalnya, pembuktian keabsahan silogisme Barbara dalam metode kombinatorik garis warna adalah sebagai berikut
Abc DAN Aab =

    = Aac

Pembuktian keabsahan silogisme lain dapat dilihat pada tabel Leibniz berikut

Catatan Penutup

1. Sebenarnya metoda garis berwarna di atas adalah penyederhanaan dari metoda garis PLoucquet berikut ini

 

di mana universalitas diganti dengan negativitas dan susunan dua dimensi (dari bawah ke atas/dari kiri ke kanan) diganti dengan susunan linier satu dimensi (dari kiri kekanan) batang-batang tegak.
2. Metoda kombinasi garis ini dapat disimulasi dengan permainan susun-bongkar dua jenis batang (panjang dan pendek) berwarna-warni.
3. Permainan batang berwarna sebagai simulasi deduksi logika bisa disederhanakan dengan memainkan satu ukuran batang berwarna tetapi dengan kedudukan berbeda. Permainan logika inilah yang akan dibahas dalam blog berikutnya.

Kombinatorik Huruf Logika Ploucquet

Kombinatorik Huruf Logika Ploucquet

Armahedi Mahzar (c) 2014

Gottfried Ploucquet
(1716-1790)

Dalam blog-blog terdahulu, saya menunjukkan bahwa ada tiga macam aritmetika logika dengan simbolisme berbeda (aritmetika Boole, Peirce dan Sommers) tetapi ketiganya secara struktural mirip satu sama lainnya. Intinya setiap pernyataan logika dinyatakan dengan untaian huruf dan simbol-simbol operasi matematika.

+===============================================+
|        pengertian BENAR SALAH TIDAK  ATAU DAN |
+-----------------------------------------------+
|Boole   huruf        1     0    1-     +   -1+ |   
|Peirce  huruf        0     1    1/     +    x  |
|Sommers huruf        1     0     -          +  |
+-----------------------------------------------+''

Kemiripan susunan itu dapat ditunjukkan melalui tabel berikut

+==========================================+
|        JIKA p DAN q MAKA r               |
|      = TIDAK(p DAN q) ATAU r             |
+------------------------------------------+
|Boole   1-(p-1+q)+r      = 1-p+1-q +r     |
|Peirce  1/(pq/r)         = 1/p 1/q  r     |
|Sommers -((p+q)--r)      =  -p  -q +r     |                   
+------------------------------------------+

Pembuktian keabsahannya mempunyai prosedur yang sama.
yaitu pelenyapan pasangan variabel yng berlawanan.

Melihat kemiripan struktural dan prosedural ini, kita dapat menduga
bahwa ada sebuah perumusan yang lebih sederhana simbolisasinya.
Berikut ini adalah salah satu bentuk penyederhaannya.
Untuk mudahnya, saya akan gunakan aritmetika Sommers sebagai rujukan.
   

Menyingkat aritmetika logika   

Untuk menyingkat aritmetika Sommers, kita bisa
- menulis tanda + dengan spasi atau tak ada simbol sama sekali
- menulis -x sebagai X alias huruf besar x.

Peryataan Kategoris Aristoteles

Berdasarkan perjanjian penyingkatan tersebut, kita dapat menuliskan pernyataan kategoris fundamental Aristoteles sebagai berikut:

(1) pengakuan umum
    Aab yaitu 'semua a adalah b' bisa ditulis sebagai Ab
(2) penyangkalan umum
    Eab yaitu 'tiada a yang b' bisa ditulis sebagai AB
(3) pengakuan khusus
    Iab yaitu 'ada a yang b' bisa ditulis sebagai ab
(4) penyangkalan khusus
    Oab yaitu 'ada a yang tidak b' bisa ditulis sebagai aB.

Pembuktian Keabsahan Silogisme

Dalam notasi ini algoritma pembuktian keabsahan ke 24 silogisme Leibnitz ,
algoritmanya menjadi sangat sederhana:

-langkah 1: tuliskan gabungan simbol bagi alasan
-langkah 2: hapuslah pasangan huruf besar/kecil yang sama.

Lebih ringkas dan lebih mudah bukan. Anak SD pun dapat melakukannya :)

Kita akan mencontohkannya
dengan membuktikan semua silogisme absah di kolom 1 pada
tabel Leibniz sekarang.

Barbara bukti ringkasnya adalah
    Abc DAN Aab = Ab Bc = Ac = Aac
Celarent buktinya sebagai berikut
    Ebc DAN Aab = Ab BC = AC = Eac
dan Darii buktinya begini
    Abc DAN Iab = ab Bc = ac = Iac
Begitu juga Ferio buktinya adalah
 Ebc DAN Iab = ab BC = aC = Oac

Untuk silogisme eksistensial pembuktiannya juga mudah
Barbari buktinya sebagai berikut
    Iaa DAN Aab DAN Abc = aa Ab Bc = ac = Iac
dan Celaront buktinya begini
    Iaa DAN Aab DAN Ebc = aa Ab BC = aC = Oac.

Silogisme di kolom-kolom lainnya juga bisa dibuktikan dengan cara yang sama.
Gunakan saja tabel Leibniz-Ploucquet berikut ini

Nah, ini supermudah bukan?
Rumusnya, tanpa tanda-tanda matematika satu pun, adalah untaian huruf besar kecil belaka.
Sedangkan algoritmanya bukan bersifat aritmetik melainkan murni kombinatorik.
Dengan demikian metodanya menjadi sangat mudah juga:
menggabung dan menghapuskan huruf-huruf.

Catatan Akhir.

Karena metoda ini mirip dengan metoda huruf Plouquet, saya sebut saja metoda itu sebagai kombinatorik huruf logika Ploucquet. Notasinya mengenai negativitas jadi mirip dengan notasi universalitas  Ploucquet. Namun, Ploucquet juga mempunyai metoda yang lebih visual, yaitu metoda kombinatorik garis yang menurut saya lebih mudah dari metoda kombinatorik huruf. Insya Allah dalam blog berikut saya akan tampilkan sebuah simplifikasi metoda Ploucquet tersebut. :)

Aritmetika Silogisme Sommers

Aritmetika Silogisme Sommers
oleh Armahedi Mahzar (c) 2014

Dalam blog terdahulu saya menunjukkan bahwa aritmetika logika Boole dapat digunakan untuk mencari kesimpulan dari sebuah silogisme absah. Dalam blog berikutnya ditunjukkan bahwa aritmetika Peirce juga bisa digunakan untuk melakukan hal yang sama.

Kalau diperhatikan perbedaan aritmetika Peirce dan Boole hanyalah pada penyandian nilai kebenaran logika. Boole menganggap 1 dan 0 masing-masingnya adalah sandi dari BENAR dan SALAH, sedangakan Peirce menganggap kebalikannya: 1 itu sandi dari SALAH dan 0 itu sandi dari BENAR.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa kita juga bisa memodifikasi aljabar Boole dengan perjanjian penyandian yang berbeda. BENAR dan SALAH tetap disandikan oleh 1 dan 0, namun operasi logika DAN kini disandikan dengan operasi aritmetika TAMBAH atau + bukannya dengan operasi KALI atau x.

Dengan perjanjian ini maka sandi bagi TIDAK(a) adalah -a, karena hukum kontradiksi TIDAK(a) DAN a = SALAH kini bisa dinyatakan sebagai TIDAK(a) + a = 0, sehingga TIDAK(a) = 0 - a = -a. Perjanjian inilah yang diambil oleh Sommers yang menyusun formulasi Term Logic seperti yang dipaparkannya dalam buku The Old New Logic.

Pernyataan Kategoris fundamental Aristoteles

Dalam penyandian logika dengan aritmetika Sommers,
kata SEMUA disandikan dengan -,  
kata ADA disandikan dengan +, 
kata ADALAH dan YANG disandikan dengan + dan
kata ITU TIDAK atau YANG TIDAK disandikan dengan -.

Jadi, keempat peryataan kategoris Aristoteles bisa dinyatakan dalam aritmetika Sommers sebagai berikut:

(1) Pernyataan universal afirmatif atau pengakuan umum
Aab = 'SEMUA a ITU b'      = -a +b
(2) Pernyataan universal negatif atau penyangkalan umum
Eab = 'SEMUA a ITU TIDAK b'= -a -b
(3) Pernyataan partikular afirmatif atau pengakuan khusus
Iab = 'ADA a YANG b'       = +a +b
(4) Pernyataan partikular negatif atau penyangkalan khusus
Oab = 'ADA a YANG TIDAK b' = +a -b

Pembuktian Silogisme Absah

Dengan aritmetika Sommers ini, maka semua silogisme absah dalam tabel Leibniz berikut ini:


dapat dibuktikan dengan sangat mudahnya, semudah pembuktian dengan aritmetika Boole atau aritmetika Peirce.

Misalnya, untuk mencari kesimpulan silogisme Barbara kita cukup menambahkan
rumus untuk Abc =-b+c dengan rumus Aab = -a+b. Hasilnya tentu saja adalah -a+c yang merupakan rumus untuk Aac. Jadi Abc + Aab = Aac. Dengan demikian KARENA Abc DAN Aab MAKA Aac

Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan keabsahan Celarent begini
    Ebc DAN Aab = (-b-c)+(-a+b)= -a-c = Eac
Pembuktian keabsahan Darii dilakukan dengan cara uang sama
    Abc DAN Iab = (-b+c)+(a+b) = +a+c = Iac
Begitu juga pembuktian keabsahan Ferio adalah sebagai berikut
    Ebc DAN Iab = (-b-c)+(a+b) = +a-c = Oac

Selanjutnya kita bisa juga membuktikan validitas silogisme eksistensial pada figur 1,
misalnya pembuktian keabsahan Barbari begini
    Ayz DAN Axy DAN Ixx = (-y+z)+(-x+y)+(x+x) = +x+z = Ixz
dan bukti keabsahan Celaront adalah sebagai berikut
    Eyz DAN Axy DAN Ixx = (-y-z)+(-x+y)+(x+x) = +x-z = Oxz

Untuk membuktikan keabsahan silogisme figur 2, 3 dan 4 dapat dilakukan dengan cara yang sama gunakan tabel Leibniz Sommers berikut ini:

Penutup

Kalau diperhatikan, aritmetika Sommers ini letaknya ada di antara aljabar Boole dan Aljabar Peirce.
Soalnya, dalam aritmetika Boole + itu ATAU dan 1 itu BENAR, sehingga TIDAK x = 1-x.
dan dalam aljabar Peirce, x itu DAN dan 1 itu SALAH, sehingga TIDAK x = 1/x,
sedangkan dalam aritmetika Sommers + itu DAN  atau ATAU dan 1 itu BENAR atau SALAH, sehingga TIDAK x = -x.

Semua metoda aritmetika tersebut tampaknya berhasil membuat pembuktian keabsahan silogisme menjadi sangat mudah, akan tetapi saya menemukan bahwa pembuktian silogisme itu menjadi lebih mudah lagi jika kita menyandikan silogisme dengan kombinasi huruf-huruf besar dan kecil. Jadi, kombinatorik lebih mudah dari aritmetika. Insya Allah saya akan sampaikan pada blog berikutnya.

Aritmetika Silogisme Peirce

Aritmetika Silogisme Peirce

Armahedi Mahzar (c) 2014

Charles Sanders Peirce

Pada blog yang lalu , saya telah melaporkan bahwa dengan aritmetika Boole kita bisa secara mudah mencari kesimpulan suatu silogisme absah. Memang mengherankan mengapa George Boole, seorang matematikawan di abad ke 19 itu, tidak mengetahui bagaimana aritmetikanya bisa memecahkan silogisme secara langsung, tanpa melakukan eliminasi variabel seperti yang saya laporkan pada blog tahun sebelumnya.

Namun, saya menemukan bahwa aritmetika logika bukan hanya diajukan oleh Boole, pada abad yang sama di Inggris, Charles Sanders Peirce seorang matematikawan Amerika, yang mengembangkan sistem graf eksistensial secara grafis mirip dengan metoda yang dikembangkan oleh George Spencer-Brown di abad ke-20. Jika diterjemahkan secara simbolik, maka aljabar graf eksistensial itu berbasis aritmetika logis di mana a DAN b disimbolkan dengan ab, BENAR disimbolkan dengan 0 dan SALAH disimbolkan dengan 1.

Nah, dalam aritmetika Peirce ini TIDAK a disimbolkan dengan 1/a, karena hukum kontradiksi mengatakan bahwa a DAN TIDAK a = SALAH atau a 1/a = 1. Jadi, dalam sistem aritmetika logika ini JIKA a MAKA b atau TIDAK a ATAU b
= TIDAK(TIDAK TIDAK a DAN TIDAK b)
= 1/(a 1/b)
= b/a.

Pernyataan Kategoris Aristoteles

Selanjutnya, keempat penyataan kategoris fundamental Aristoteles dapat dinyatakan sebagai berikut.

Aab = "semua a adalah b" = 'jika a maka b" = b/a

Eab = "semua a tidak b" = b/(1/a) = ab

Iab = "ada a yang b" = TIDAK Eab = 1/ab

Oab = "ada a yang tidak b" = TIDAK Aab = 1/(b/a) = a/b

Aritmetika Silogisme

Ternyata dengan menggunakan aritmetika perkalian logika ini, kita juga dapat menghitung kesimpulan silogisme Aristoteles ini secara langsung pula seperti dengan menggunakan aritmetika Boole.

Misalnya, untuk mencari kesimpulan silogisme Barbara kita cukup mengalikan rumus untuk Abc = c/b dengan rumus Aab = b/a. Hasilnya tentu saja adalah c/a yang merupakan rumus untuk Aac. Jadi Abc Aab = Aac. Dengan demikian Abc Aab -> Aac

Pembuktian keabsahan Celarent caranya sama
Eab Abc = ab c/b = ac = Eac.

Begitu juga pembuktian Darii
Aab Ibc = b/a 1/bc = 1/ac = Iac

dan pembuktian Ferio
Eab Ibc = ab 1/bc = a/c = Oac

Dengan cara yang sama, kita bisa membuktikan semua (24) silogisme absah dalam tabel Leibniz berikut

Ketika menemukan metoda aritmetika di atas saya sangatlah heran, karena apa yang diimpikan oleh Leibniz di abad ke-17 untuk mencari metoda matematika dalam menalar logika yaitu calculus ratiocinator ternyata ditemukan oleh Boole dan Peirce di abad ke-19. Ajaibnya, metoda itu sangat sederhana. Murid SMP pun bisa melakukannya. :)

Catatan Akhir

(1) Herannya, kedua logikawan itu tidak menyadari hal itu. Bahkan para matematikawan sesudah mereka juga tidak menyadarinya. Untungnya, di abad ke-20 seorang logikawan Amerika menemukan aritmetika logika alternatif  lain lagi yaitu Aritmetika Sommers. Namun itu akan kita bicarakan dalam blog berikutnya.

(2) Sommers sendiri menemukan rumus-rumus pecahan Peirce tersebut di atas secara independen di Tel Aviv pada tahun 1967. Ini diceritakannya dalam bab 1 buku New Old Logic. Karena keterbatasan mtoda pecahan ini, dia mengembangkan metoda tambah kurang yang akan dibahas dalam blog berikutnya.
 .