DIALOG LOGIKA KARTU

Armahedi Mahzar (c) 2011

Dalam blog saya sebelumnya saya telah melaporkan dialog antara kakek guru saya pada sistem logika yang menggunakan gambar kotak dan surat sebagai media komunikasi. Di sini saya akan melaporkan sistem logika dengan representasi yang lebih konkret yang ditemukan oleh Ni Suiti: kartu sistem logika.

Ni Suiti: Tadi malam, saya terinspirasi untuk mengganti gambar kotak logika Kauffman dengan kartu tertutup dan huruf sebagai tanda variabel dengan kartu terbuka
di mana tanda gambar kartu melambangkan variabel.

 Ki Algo:Untung. Tapi, bagaimana kita secara logis mengoperasikan sebuah kartu seperti hanya operasi kotak dalam logika Kauffman? Kamu lihat, kartu tidak memiliki bagian yang  dapat diisi oleh kartu yang mewakili variabel?
 
Ni Suiti: Mudah. Kartu tidak memiliki bagian yang harus diisi, tetapi dia memiliki bagian atas dan bawah. Dengan demikian, "huruf dalam kotak" dalam logika Kauffman dapat direpresentasikan sebagai "kartu di atas kartu tertutup" dalam logika kartu yang saya temukan itu.

Ki Algo: Bagaimana kita bisa mendeklarasikan pernyataan logika dalam logika kartu logika kartu baru yang kamu temukan itu? 


Ni Suiti: Setiap pernyataan logis dapat dinyatakan dengan suatu susunan kartu. Pernyataan TIDAK a, misalnya, diungkapkan oleh KARTU TERBUKA a di atas sebuah KARTU TERTUTUP

  .
Ki Algo: Bagaimana pernyataan dengan operasi DAN?

Ni Suiti: Pernyataan  a DAN b diwakili oleh sebuah KARTU TERBUKA a disamping KARTU TERBUKA b. 

Ki Algo: OK, tapi bagaimana kita bisa mengekspresikan hukum dasar logika aritmatika dalam logika kartu? Kedua hukum dasar itu adalah Hukum DAN dan Hukum TIDAK.

Ni Suiti: Dalam logika kartu, Hukum TIDAK mengatakan "Jika ada sebuah KARTU TERTUTUP di atas KARTU TERTUTUP lain, maka keduanya dapat dibuang."

Sementara hukum DAN berbunyi "Jika ada sebuah KARTU TERTUTUP di samping KARTU TERTUTUP lainnya, maka kita bisa membuang salah satu dari mereka."

Ki Algo: Hukum Aljabar logis adalah kombinasi dari pernyataan logis menggunakan AND dan NOT nilai selalu benar untuk semua variabel yang mungkin nilai apapun.
 
Ni Suiti: Susunan kartu yang bagus adalah susunan kartu yang dapat dibongkar melalui hukum dasar aritmetika, untuk semua kemungkinan penggantian semua kartu terbuka yang ada di dalamnya. Susunan kartu tersebut mewakili pernyataan selalu benar.

Ki Algo: Berikut adalah tiga hukum aljabar logika yang berguna.
Yang pertama adalah HUKUM dari TIDAK GANDA yaitu a" =  a

Kedua ada HUKUM PENYERAPAN a x 0 = 0..

Terakhir ada HUKUM PENGHAPUSAN adalah TIDAK (a DAN b) DAN b adalah sama dengan TIDAK a DAN b atau  (axb) 'x a = a x b'. Ketiga hukum aljabar dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran dari laporan aljabar jauh lebih kompleks.

Ni Suiti: Dalam logika kartu, HUKUM TIDAK GANDA mengatakan "Jika ada kartu terbuka di bagian atas tumpukan dua kartu tertutup yang ada, maka kedua kartu tertutup itu dapat dibuang"

Sementara HUKUM PENYERAPAN  adalah "Jika ada suatu susunan kartu di samping kartu tertutup, semua kartu dapat dibuang"

Akhirnya HUKUM PENGHAPUSAN berbunyi "Sebuah kartu terbuka yang berada di atas sebuah susunan kartu dapat dibuang, jika di samping mereka ada kartu lain terbuka dari jenis yang sama."



Ketiga hukum logika kartu itu dapat digunakan untuk menghancurkan setiap susunan kartu yang menggambarkan sebuah pernyataan logika. Jika hasilnya tidak ada kartu sama sekali, maka pernyataan itu BENAR. Jika hanya ada satu kartu tertutup yang tersisa, maka pernyataan itu SALAH.

Ki Algo: Nah, hari telah larut malam. Mari kita hentikan dialog hari ini. Besok kita akan melihat apakah logika kartu Anda dapat menguji keabsahan silogisme Aristotelian.

Ni Suiti: Selamat malam!

Nah, di sini laporan pertama saya dialog. Mungkin dalam dialog berikutnya, kita dapat melihat manfaat dari temuan kartu logika Ni Suiti.

DIALOG LOGIKA KAUFFMAN

Armahedi Mahzar (c) 2011

Dalam dialog sebelum ini, ditemukan sebuah aljabar yang ajaib karena mengunakan KOSONG sebagai tanda dan tanda lainnya adalah gambar. Selanjutnya coba kita dengar dialog kakek-nenek guru saya tentang penyempurnaan aljabar gambar itu oleh Louis Kauffman .

Ni Suiti:
---------
Hai Algo. Tadi malam saya dapat ilham bagaimana caranya menyederhanakan penulisan hukum Aristoteles dan Hukum Boole yang dijadikan aksioma oleh Spencer-Brown.

Ki Algo:
--------
Bagaimana?

Ni Suiti:
---------
Ganti saja tanda "(" dengan "[" dan tanda ")'" dengan tanda "]" dalam kedua HUKUM tadi.

Ki Algo:
--------
Jadi?

Ni Suiti:
---------
Jadi hukum Aristoteles bisa ditulis jadi

[[a]a] =

dan hukum Distribusi Boole bisa ditulis sebagai

[[a][b]]c = [[ac][bc]]

Ki Algo:
--------
Ya, memang lebih sederhana. Daripada menggunakan tiga tanda (, ) dan ', sekarang aljabar logika hanya perlu dua tanda [ dan ].

Ni Suiti:
---------

Hebat kan?

Ki Algo:
--------
Memang hebat, tapi lebih hebat lagi Louis Kauffman yang notasinya lebih sederhana dari notasi kamu. Dia hanya butuh satu tanda saja yaitu KOTAK.

Ni Suiti:
---------
Hah ... ?

Ki Algo:
--------
Dia menyederhanakan TIDAK x yang dalam notasi baru kamu ditulis sebagai [x], menjadi
x dalam KOTAK.

Ni Suiti:
---------
Wah, tandanya jadi sebuah gambar KOTAK.

Ki Algo:
--------

Ya. Sebenarnya Kauffman hanya menyelesaikan gambar "cross" Spencer Brown, yang sebetulnya tak lain dari pada gambar setengah kotak, menjadi gambar KOTAK seutuhnya.

Ni Suiti:
---------
Kalau begitu aljabar Kauffman tidak lebih sederhana dong dari aljabar Brown. Apa hebatnya?

Ki Algo:
--------
Kalau hanya itu, memang aljabar Kauffman tidak lebih sederhana dari aljabar Brown. Tapi dia lebih hebat, dia menyederhanakan sistem aksioma aljabar Brown dengan cara mengurangi aksiomanya menjadi satu aksioma saja alias aksioma tunggal.

Ni Suiti:
---------
Apa itu aksiomanya?

Ki Algo:
--------
Aksiomanya adalah



Ni Suiti:
---------
Hebat. Apa nama aksioma itu?

Ki Algo:
--------
Namanya aksioma Huntington karena sebenarnya dia ditemukan oleh Huntington sebagai aksioma ketiga setelah hukum asosiasi dan hukum komutasi operasi DAN. Dari ketiga aksioma itu Huntington berhasil membuktikan semua identitas Boole sebagai dalil.

Ni Suiti:
---------
Pintar juga pak Kauffman itu. Dengan pakai notasi kotak yang merupakan notasi gambar itu, aksioma asosiasi dan komutasi tak diperlukan lagi karena sifat itu dipenuhi dengan sendirinya. Jadi akhirnya cukup satu aksioma saja untuk membuktikan alajabar logika Boole.

Ki Algo:
--------
Tampaknya aksioma itu kompleks sehingga tak bisa dimaknai secara kata-kata.

Ni Suiti:
---------
Coba saya terjemahkan dalam notasi [] saya dulu. Dalam notasi saya aksioma itu adalah

[[a]b][[a][b]] = a

Ki Algo:
--------
Kalau notasi kamu diterjemahkan dengan notasi Boole kita akan dapatkan

(a'  b)'  (a' b')' = a

Ki Algo:
--------
Dalam notasi logika simbolik ini bisa ditulis sebagai

a = (a'->b')(a'->b)

yang bisa disederhanakan jadi

a = (a' -> b) & (a' -> b')

Ni Suiti:
---------
Hah.... kalau dibaca dalam kata-kata itu kan berarti sebuah pernyataan BENAR jika dan hanya jika penyangkalannya menyimpulkan sebuah kontradiksi.

Ki Algo:
--------
Ya, itulah argumen logis yang digunakan filsuf-filsuf Yunani sebelum Aristoteles.
Argumen itu disebut REDUCTIO AD ABSURDUM.

Ni Suiti:
---------
Bukan main. Jadi, semua logika modern Boole pasca Aristoteles pada dasarnya adalah logika kuno pra-aristoteles.

Ki Algo:
--------
Dan Kauffman merumuskannya dalam bahasa gambar-gambar.

Ni Suiti:
---------
sehingga orang seni seperti saya bisa menikmatinya.

Ki Algo:
--------
Karena hari telah larut malam, marilah kita hentikan dalog kita tentang logika ini. Silahkan nikmati keindahan itu dalam mimpi :)

Begitulah dialog kakek nenek guru saya hari ini. Kita tunggu saja kelanjutannya.

Dialog Logika Brown

Armahedi Mahzar (c) 2011

Dalam dialog yang lalu kita mengetahui bagaimana logika kata-kata Aristoteles disederhanakan menjadi aljabar logika oleh George Boole dengan tiga tanda +, X dan '. Dalam dialog berikut ini kita akan mengetahui bagaimana aljabar Boole bisa disederhanakan menjadi aljabar Brown yang hanya membutuhkan satu tanda saja.

Ki Algo:
--------
Kalau tak salah menurut kamu kemarin, enam rumus itu bisa kita ganti dengandua rumus dan satu tanda saja.
Bagaimana bisa ?

Ni Suiti:
---------
Begini saja. Gantilah tanda BENAR yaitu 1 dan tanda KALI yaitu x dengan KOSONG alias tidak ada tanda apa-apa.
Jadi rumus-rumus Hukum Hitung TIDAK
1 = 0' bisa ditulis sebagai ' = '
0 = 1' bisa ditulis sebagai = ''

Begitu juga rumus-rumus Hukum Hitung DAN
1 x 1 = 1 bisa ditulis sebagai =
1 x 0 = 0 bisa ditulis sebagai ' = '
0 x 1 = 0 bisa ditulis sebagai ' = '
0 x 0 = 0 bisa ditulis sebagai ' ' = '

Jadi hukum Hitung TIDAK
cukup dinyatakan oleh satu rumus:
'' =
dan hukum Hitung DAN
cukup dinyatakan oleh satu rumus:
' '='
Kita tak perlu menuliskan hukum yang lain
yang tak lain dari hukum identitas Aristoteles.

Ki Algo:
--------
Betul juga kamu. Jadi semua logika dasarnya
adalah
Hukum TIDAK yaitu TIDAK SALAH = BENAR
yang kamu tulis sebagai '' =
Hukum DAN yaitu SALAH DAN SALAH = SALAH
yang kamu tulis sebagai ' ' = '

Ni Suiti:
---------
Ya, benar. Karena
BENAR ditulis dengan KOSONG alias tidak ada tanda,
a DAN b ditulis sebagai a b
dan TIDAK a ditulis sebagai a'
sehingga SALAH = TIDAK BENAR bisa ditulis dengan '

Ki Algo:
--------
Wah, genius kamu. Ini adalah rumus yang paling sederhana yang pernah saya temukan.
Sebenarnya sih, rumus kamu mirip dengan rumus yang ditemukan oleh George Spencer-Brown

40 tahun yang lalu yaitu

tapi punya kamu lebih sederhana.

Ni Suiti:
---------
Ya, punya saya lebih sederhana, karena cukup satu tanda ' yang jauh lebih sederhana dari "Cross" nya Spencer-Brown.

Ki Algo:
--------
Memang punya kamu lebih sederhana, tapi Spencer Brown lebih hebat karena bisa menurunkan semua tautologi Boole secara aljabar dari hanya 2 aksioma saja yaitu Laws of Form



Ni Suiti:
---------
Kalau begitu saya terjemahkan saja kedua rumus itu ke dalam notasi saya. Maka semua rumus Boole juga bisa diturunkan dari kedua aksioma itu

((p)'p)' =
((pr)'(qr)')' = ((p)'(q)')'r

Ki Algo:
--------
HAHAHA... rumus kamu jadi lebih kompleks karena perlu dua tanda kurung ( dan ) disamping tanda '.

Ni Suiti:
---------
hehehe ... benar juga. Tapi ini sudah larut malam. Kita berhenti saja di sini. Mudah-mudahan saya dapat ilham untuk menyederhanakan rumus saya.

Ki Algo:
--------
Baiklah. Selamat malam.

Begitulah dialog Ki Algo dan Ni Suiti tentang perumusan baru yang aneh dari aljabar logika Boole menjadi aljabar Brown yang menggunakan KOSONG sebagai tanda. Namun bisakah aljabar Brown lebih disederhanakan lagi? Kita tunggu dialog berikutnya.

Dialog logika Boole

DIALOG LOGIKA BOOLE
Armahedi Mahzar (c) 2011

Pada blog yang lalu, kita telah mendengarkan dialog antara Ki Algo dan Ni Suiti tentang silogisme yang dirumuskan untuk pertama kalinya oleh Aristoteles. Berikut ini adalah dialog mereka tentang ilmu hitung logika yang ditemukan oleh George Boole   pada abad XIX. Coba kita simak

Ni Suiti:
---------
Tampaknya saya tidak akan belajar logika,
karena itu hanya sekedar omongan tentang omongan.

Ki Algo:
--------
Wah, kamu salah. Itu bukan sekedar omongan tentang omongan, tetapi omongan teratur dalam hati tentang omongan teratur dalam hati. Lebih tepatnya logika adalah ilmu tentang berpikir.

Ni Suiti:
---------
Apa sih, itu aturan berpikir dalam ilmu berpikir?

Ki Algo:
--------
Ada tiga aturan dasar berpikir.
Pertama Hukum identitas:
sekali A ya tetap A.
Kedua Hukum Kontradiksi:
tak mungkin A sekaligus TIDAK A.
Ketiga Hukum Komplementasi:
tak ada yang lain di luar A dan TIDAK A.

Ni Suiti:
---------
Hahaha, omongan yang benar tentang omongan yang benar,
Tapi, susah juga untuk diingat.

Ki Algo:
--------
Itulah sebabnya George Boole di abad XIX mengembangkan sejenis
aljabar untuk mempelajari Logika.
Dalam aljabar logika
BENAR ditulis sebagai 1
SALAH ditulis sebagai 0
DAN ditulis sebagai tanda kali x
ATAU ditulis sebagai tanda tambah +
TIDAK ditulis sebagai tanda 1-.

Ni Suiti:
---------
Apa hebatnya aljabar itu?

Ki Algo:
--------
Dengan notasi aljabar logika ini Hukum-hukum itu dapat ditulis lebih sederhana.
Hukum Identitas ditulis sebagai A = A
Hukum Kontradiksi ditulis sebagai A x (1-A) = 0
Hukum Komplementasi ditulis sebagai A + (1-A) = 1

Ni Suiti:
---------
Karena Hukum 1 dan Hukum 3 dalam aritmetika adalah sesuatu yang sangat jelas, maka sebenarnya kita tinggal mengingat satu hukum saja yaitu hukum kontradiksi yang dalam aritmetika jadi identitas

A x A = A

Hukum ini sangat aneh.

Ki Algo:
--------
Ya, sangat aneh. Tapi kalau kita ingat dalam logika tidak ada nilai kebenaran kecuali BENAR dan SALAH atau 1 dan 0, maka ini tidaklah aneh.

Ni Suiti:
---------
Bagaimana hitung-hitungan logika yang jadi dasar logika itu?

Ki Algo:
--------
Hukum Hitung DAN yang sama dengan hukum KALI ilmu hitung bilangan.
Hukum Hitung ATAU adalah kebalikan dari hukum DAN

Hukum Hitung ATAU
Rumus ATAU1: 0 + 0 = 0
Rumus ATAU2: 1 + 0 = 1
Rumus ATAU3: 0 + 1 = 1
Rumus ATAU4: 1 + 1 = 1

Hukum Hitung TIDAK
Rumus DAN1: 1 - 0 = 1
Rumus DAN2: 1 - 1 = 0

Ni Suiti:
---------
Wah, ternyata tak perlu mengingat omongan-omongan panjang yang namanya hukum logika Aristoteles. Semuanya bisa diturunkan dari ketiga hukum hitungan logika Boole itu.
Misalnya hukum kontradiksi hanyalah konsekuensi dari hukum perkalian.

Ki Algo:
--------
Ya, hukum Hitung ATAU yang terdiri dari empat rumus itu
bisa diganti dengan satu persamaan definisi

a + b == (a' x b')'

jika kita menulis TIDAK sebagai akhiran ' untuk menyingkat awalan 1 - .

Ni Suiti:
---------
Kalau begitu sebenarnya semua ilmu hitung logika berdasarkan dua hukum yaitu hukum hitung DAN yang empat rumus dan hukum hitung TIDAK yang dua rumus.

Ki Algo:
--------
Ya, cukup dua hukum tapi ada enam rumus.

Ni Suiti:
---------
Bagus sekali: tanpa kata dan hemat tanda.
Ekonomis secara kata dan tanda.
Tapi secara rumus dasar logika sangatlah tidak hemat.
Namun, saya rasa, saya bisa menyederhanakan ilmu hitung logika ini.

Ki Algo:
--------
Bagaimana?

Ni Suiti:
---------
Wah, hari sudah larut malam.
Saya akan cari ilham menjelang tidur.
Besok saja kita diskusi lagi.

Nah, karena mereka berhenti berdialog, sekian saja note saya hari ini. Besok, Insya Allah, saya laporkan lagi dialog mereka sebagai sambungannya.

Dialog logika Aristoteles

Dialog Logika Aristoteles
Armahedi Mahzar (c) 2011

Berikut ini adalah potongan dialog dari kakek dan nenek guru saya Ki Algo dan Ni Suti. Mereka itu adalah ayah bunda dari guru saya Ki Sifa suami dari Mama Tetika. Mereka sedang berdiskusi tentang logika Aristoteles.

Ki Algo:
--------
Dasar dari logika Aristoteles adalah silogisme.

Ni Suiti:
---------
Apa sih silogisme itu?

Ki Algo:
--------
Silogisme adalah bentuk penalaran yang terdiri dari tiga pernyataan yang masing-masingnya menghubungkan dua pengertian. Dua pernyataan pertama disebut alasan dan pernyataan ketiga disebut kesimpulan

Ni Suiti:
---------
Bagaimana bentuk umum silogisme?

Ki Algo:
--------
Bentuk umum silogisme adalah seperti berikut

KARENA alasan pertama
DAN alasan kedua,
MAKA kesimpulan.

Ni Suiti:
--------
Bagaimana bentuk umum sebuah pernyataan?

Ki Algo:
--------
Ada empat macam bentuk pernyataan
yang menghubungkan pengertian a dan pengertian b
yaitu
(1) semua a itu b
(2) tidak ada a yang b
(3) ada a yang b
(4) ada a yang tidak b

Ni Suiti:
---------
Apa nama-nama pernyataan dasar itu?

Ki Algo:
--------
(1) dan (3) disebut pengakuan
(2) dan (4) disebut penyangkalan
(1) dan (2) disebut pernyataan umum
(3) dan (4) disebut pernyataan khusus

jadi

Pernyataan (1) disebut pengakuan umum
Pernyataan (2) disebut penyangkalan umum
Pernyataan (3) disebut pengakuan khusus
Pernyataan (4) disebut penyangkalan khusus

Ni Suiti:
---------
Wah, namanya panjang sekali. Bisa disingkat nggak?

Ki Algo:
--------
Kebetulan, logikawan abad pertengahan menamakan
pengakuan umum sebagai pernyataan A,
penyangkalan umum sebagai pernyataan E,
pengakuan khusus sebagai pernyataan I dan
penyangkalan khusus sebagai pernyataan O.

Dengan nama singkat ini
(1) semua a itu b bisa ditulis sebagai aAb
(2) tidak ada a yang b bisa ditulis sebagai aEb
(3) ada a yang b bisa ditulis sebagai aIb
(4) ada a yang tidak b bisa ditulis sebagai aOb

Ni Suiti:
---------
Apa ada hubungan antara pernyataan dasar itu:

Ki Algo:
--------
- Pernyataan "tidak ada a yang b" itu bisa juga dinyatakan sebagai "semua a itu tidak b"

- Pernyataan "semua a itu b" itu sama saja dengan "tidak ada a yang tidak b"

Sebaliknya
- Pernyataan "ada a yang b" itu sama saja dengan
"tidak semua a itu tidak b"
dan
- Pernyataan "tidak semua a itu itu b" itu sama saja dengan "ada a yang b"

Ni Suiti:
---------
Kalau begitu, TIDAK I itu sama dengan E
Begitu juga A itu sama dengan dengan tidak O.
Sebaliknya I itu sama dengan TIDAK E dan
juga TIDAK A itu sama dengan O.

Ki Algo:
--------
Ya. Kalau dalam penulisan aljabar Logika Boole
I' = E dan A = O'
juga I = E' dan A' = O

Ni Suiti:
---------
Apa itu aljabar logika Boole?

Ki Algo:
--------
Kita bicarakan saja itu besok

Apa boleh buat. Dialog dihentikan. Jadi saya hentikan penulisan laporan dalam fbnotes ini.
Mudah-mudahan saya bisa curi dengar dialog kakek nenek guru itu besok.

Saya, Logika dan Internet

Armahedi Mahzar (c) 2011

Saya pensiun pada awal era internet Indonesia di tahun 1999. Apa yang saya cari di internet adalah informasi tentang teori prelepton hasil pemikiran saya tentang partikel fundamental lebih kecil dari quark dan lepton. Ternyata ada orang lain yang berpikir mirip dengan itu. Dalam teori saya itu quark dan lepton ada hubungannya dengan bilangan kuaternion yang mempunyai 3 bilangan imajiner murni Namun di Internet saya menemukan sebuah website milik Tony Smith    yang berteori bahwa quark dan lepton berhubungan dengan oktonion, yang mempunyai 7 bilangan imajiner, bukannya kuaternion.

Di website itu saya menemukan adanya bilangan sedenion dengan 15 bilangan imajiner yang membawa saya ke egroup hypernumbers@yahoo.com milik Kevin Carmody yang membahas bilangan multidimensi hypernmber yang ditemukan oleh Charles Muses . Bilangan riil, kompleks, kuaternion, oktonion dan sedenion hanyalah sebagian kecil dari jenis-jenis hypernumber yang ada. Ketika saya meneliti rumus umum perkalian sedenion yang melibatkan operasi logika yang belum pernah saya temukan sebelumnya. Operasi itu adalah operasi XOR yang ketika search di Internet membawa sampai ke sebuah situs milik George Stathis yang merumuskan aljabar logika dengan hanya dua operasi XOR dan OR yang disebutnya sebagai multiform logic algebra yang katanya adalah generalisasi dari aljabar Brownian dalam Laws of Form.

Dari situs ini saya masuk ke egroup lawsofform@yahoogroups.com milik Richard Shoup yang secara khusus membahas temuan George Spencer-Brown dalam buku Laws of Form yang pernah saya baca sekilas pada akhir masa mahasiswa puluhan tahun sebelumnya.
Pada suatu saat, ada seorang memasang link ke file buku itu dalam bentuk format pdf. Tentu saja posting itu segera didelete oleh moderator egroup, karena melanggar hukum. Tapi alhamdulillah, saya sempat mengunduhnya sehingga bisa membacanya lebih cermat walaupun masih belum mengerti juga. Dalam apendiks buku ini saya membaca bahwa Spencer-Brown berhasil membuktikan keabsahan 24 silogisme Aristoteles . Namun sayang dia hanya menunjukkan pembuktian satu silogisme saja.

Dari egroup ini saya sampai ke website Louis Kauffman yang menulis buku yang mengembangkan aljabar Brownian menjadi aljabar kotak diperluas yang lebih umum sehingga mencakup logika dengan nilai logis lebih luas. Dari buku inilah saya bisa memahami rumus-rumus Spencer-Brown sebagai rumus-rumus logika Boolean. Rahasianya adalah penggunaan KOSONG sebagai simbol ganda: sebagai nilai logis SALAH dan sebagai operasi ATAU. Selanjutnya operasi TIDAK disimbolkan dengan sebuah tanda separuh kotak yang disebutnya "cross" atau palang.

Oleh Kauffman tanda separuh kotak ini diganti dengan sebuah KOTAK utuh. Setelah aljabar Brown ditransformasi Kauffman menjadi aljabar kotak, barulah segalanya menjadi jelas. Yang menarik, Kauffman menunjukkan bahwa aljabar kotak itu sudah terlebih dahulu ditemukan oleh Charles Sanders Peirce sebagai aljabar logika di mana KOSONG adalah tanda buat konstanta BENAR dan operasi DAN. Sedangkan KOTAK dibca sebagai tanda TIDAK.

Dengan tafsir ini rumus-rumus Brown dapat dibaca secara baru yaitu rumus logika dualnya. karena itu KOTAK KOTAK = KOTAK artinya SALAH DAN SALAH = SALAH dan KOTAK dalam KOTAK = KOSONG artinya TIDAK SALAH = BENAR.

Satu lagi hebatnya Kauffman. Kalau Spencer-Brown mereduksi aljabar logika Boole menjadi cukup dengan dua akssioma yang melibatkan satu tanda saja. Suatu prestasi yang patut dipuji. Namun Kauffman mereduksi aljabar Brown menjadi aljabar kotak yang hanya membutuhkan satu aksioma yang ditemukan oleh Edward Huntington di awal abad ke-20.

Dengan demikian seluruh aljabar logika Boole dapat dirumuskan menjadi sebuah aljabar kotak dengan aksioma tunggal. Yang lebih menarik ialah kenyataan bahwa aksioma Huntington itu tak lain tak bukan dari pada perumusan aljabarik prinsip kuno REDUCTIO AD ABSURDUM, yaitu pembuktian kebenaran suatu pernyataan melalui pembuktian bahwa penyangkalan pernyataan itu akan menimbulkan kontradiksi.

Mahasiswi Peirce, Christine Ladd , menggunakan operasi NAND berhasil membuktikan bahwa semua syllogisme absah bisa diturunkan secara aljabar logis dari sebuah rumus yang disebutnya sebagai antilogisme. Dengan susah payah akhirnya saya bisa menterjemahkan rumus-rumusnya yg menggunakan simbol yg non konvensional menjadi rumus-rumus aljabar Boole. Seperti Brown, dia hanya membuktikan beberapa syllogisme absah. Mengikuti algoritmanya akhirnya saya bisa membuktikan 15 jenis syllogisme absah dari 2 buah antilogisme ketika saya berada di London lebih dari setahun lalu dan menulisnya di Facebook notes dan Blog saya.

Alhamdulillah, akhirnya, setelah lama kembali ke tanah air, saya bisa membuktikan sisanya, yaitu ke 9 syllogisme, dari dua buah antilogisme baru. Jadi saya akhirnya bisa membuktikan ke 24 syllogisme absah itu dari 4 antilogisme. Belakangan saya bisa membuktikan bahwa keempat antilogisme itu ekivalen satu sama lainnya. Ini berarti Christine Ladd memang benar, tapi hanya sebagian. Semua syllogisme pada dasarnya ekivalen satu sama lainnya.

Kenyataan ini saya sebut sebagai kesatuan silogisme. Saya mencoba kesatuan silogisme ini tanpa menggunakan konsep antilogisme. Saya membuktikannya dengan menggunakan aljabar kotak dan memaparkannya di blog dan di Facebook. Tapi sayangnya hanya sedikit sekali orang yang bisa memahaminya. Bagaimana pun, saya akan mencoba membuktikannya di internet dengan penemuan saya yang mutakhir: aljabar barang. aljabar kartu adalah contohnya.