Aritmetika Silogisme Sommers

Aritmetika Silogisme Sommers
oleh Armahedi Mahzar (c) 2014

Dalam blog terdahulu saya menunjukkan bahwa aritmetika logika Boole dapat digunakan untuk mencari kesimpulan dari sebuah silogisme absah. Dalam blog berikutnya ditunjukkan bahwa aritmetika Peirce juga bisa digunakan untuk melakukan hal yang sama.

Kalau diperhatikan perbedaan aritmetika Peirce dan Boole hanyalah pada penyandian nilai kebenaran logika. Boole menganggap 1 dan 0 masing-masingnya adalah sandi dari BENAR dan SALAH, sedangakan Peirce menganggap kebalikannya: 1 itu sandi dari SALAH dan 0 itu sandi dari BENAR.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa kita juga bisa memodifikasi aljabar Boole dengan perjanjian penyandian yang berbeda. BENAR dan SALAH tetap disandikan oleh 1 dan 0, namun operasi logika DAN kini disandikan dengan operasi aritmetika TAMBAH atau + bukannya dengan operasi KALI atau x.

Dengan perjanjian ini maka sandi bagi TIDAK(a) adalah -a, karena hukum kontradiksi TIDAK(a) DAN a = SALAH kini bisa dinyatakan sebagai TIDAK(a) + a = 0, sehingga TIDAK(a) = 0 - a = -a. Perjanjian inilah yang diambil oleh Sommers yang menyusun formulasi Term Logic seperti yang dipaparkannya dalam buku The Old New Logic.

Pernyataan Kategoris fundamental Aristoteles

Dalam penyandian logika dengan aritmetika Sommers,
kata SEMUA disandikan dengan -,  
kata ADA disandikan dengan +, 
kata ADALAH dan YANG disandikan dengan + dan
kata ITU TIDAK atau YANG TIDAK disandikan dengan -.

Jadi, keempat peryataan kategoris Aristoteles bisa dinyatakan dalam aritmetika Sommers sebagai berikut:

(1) Pernyataan universal afirmatif atau pengakuan umum
Aab = 'SEMUA a ITU b'      = -a +b
(2) Pernyataan universal negatif atau penyangkalan umum
Eab = 'SEMUA a ITU TIDAK b'= -a -b
(3) Pernyataan partikular afirmatif atau pengakuan khusus
Iab = 'ADA a YANG b'       = +a +b
(4) Pernyataan partikular negatif atau penyangkalan khusus
Oab = 'ADA a YANG TIDAK b' = +a -b

Pembuktian Silogisme Absah

Dengan aritmetika Sommers ini, maka semua silogisme absah dalam tabel Leibniz berikut ini:


dapat dibuktikan dengan sangat mudahnya, semudah pembuktian dengan aritmetika Boole atau aritmetika Peirce.

Misalnya, untuk mencari kesimpulan silogisme Barbara kita cukup menambahkan
rumus untuk Abc =-b+c dengan rumus Aab = -a+b. Hasilnya tentu saja adalah -a+c yang merupakan rumus untuk Aac. Jadi Abc + Aab = Aac. Dengan demikian KARENA Abc DAN Aab MAKA Aac

Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan keabsahan Celarent begini
    Ebc DAN Aab = (-b-c)+(-a+b)= -a-c = Eac
Pembuktian keabsahan Darii dilakukan dengan cara uang sama
    Abc DAN Iab = (-b+c)+(a+b) = +a+c = Iac
Begitu juga pembuktian keabsahan Ferio adalah sebagai berikut
    Ebc DAN Iab = (-b-c)+(a+b) = +a-c = Oac

Selanjutnya kita bisa juga membuktikan validitas silogisme eksistensial pada figur 1,
misalnya pembuktian keabsahan Barbari begini
    Ayz DAN Axy DAN Ixx = (-y+z)+(-x+y)+(x+x) = +x+z = Ixz
dan bukti keabsahan Celaront adalah sebagai berikut
    Eyz DAN Axy DAN Ixx = (-y-z)+(-x+y)+(x+x) = +x-z = Oxz

Untuk membuktikan keabsahan silogisme figur 2, 3 dan 4 dapat dilakukan dengan cara yang sama gunakan tabel Leibniz Sommers berikut ini:

Penutup

Kalau diperhatikan, aritmetika Sommers ini letaknya ada di antara aljabar Boole dan Aljabar Peirce.
Soalnya, dalam aritmetika Boole + itu ATAU dan 1 itu BENAR, sehingga TIDAK x = 1-x.
dan dalam aljabar Peirce, x itu DAN dan 1 itu SALAH, sehingga TIDAK x = 1/x,
sedangkan dalam aritmetika Sommers + itu DAN  atau ATAU dan 1 itu BENAR atau SALAH, sehingga TIDAK x = -x.

Semua metoda aritmetika tersebut tampaknya berhasil membuat pembuktian keabsahan silogisme menjadi sangat mudah, akan tetapi saya menemukan bahwa pembuktian silogisme itu menjadi lebih mudah lagi jika kita menyandikan silogisme dengan kombinasi huruf-huruf besar dan kecil. Jadi, kombinatorik lebih mudah dari aritmetika. Insya Allah saya akan sampaikan pada blog berikutnya.