REDUCTIO AD ABSURDUM

Armahedi Mahzar (c) 2011

Bagian 4 : Menyederhanakan Aksioma Aljabar Logika

Perjalanan sejarah menunjukkan bahwa setelah aljabar proposisi logika Boole berhasil direduksi menjadi sistem 6 aksioma dan 2 operasi primitif dalam Principia Mathematica, reduksi ini terus berlanjut hingga ditemukannya sistem formal logika Jean Nicod dengan 1 aksioma 1 operasi. Namun sayangnya aksioma Nicod itu sangatlah panjang dan sangat sulit dipahami. Walaupun begitu sejarah juga menunjukkan bahwa ternyata ada jalan-jalan lain untuk menyederhanakan aljabar logika.

Memang, perumusan aksiomatik Russell - Whitehead dengan notasi linier lebih jelas dari pada sistemnya Frege yang menggunakan notasi 2-dimensi atau planar. Namun sayangnya, kedua penulis Principia Mathematica ini justru mengembalikan simbolisasi linier atau satu dimensi dalam penelitian matematika logika dan mereka pun telah menghilangkan perumusan pernyataan aljabar logika, sebagai persamaan, seperti yang ditemukan oleh Boole, menjadi sebuah rangkaian pernyataan JIKA MAKA.

Walaupun aksioma-aksioma Principia dituliskan dalam rangkaian JIKA MAKA, sebenarnya konsep operasional dasarnya adalah ATAU dan TIDAK. Dimana JIKA a MAKA b atau a->b dirumuskan sebagai TIDAK(a) ATAU b atau a' + b. Itulah sebabnya terjadilah upaya-upaya penyederhanaan dengan menggunakan persamaan-persamaan dengan notasi a + b untuk a ATAU b dan notasi a' untuk TIDAK(a) sebagai aksioma-aksioma.

Misalnya, pada tahun 1933 Edward Vermilye Huntington (1874-1952), matematikawan Amerika, membuat sistem aksiomatik dengan 3 aksioma 2 simbol (+ dan ') sebagai berikut

(Komutativitas)                  x + y = y + x
(Asosiativitas)            (x + y) + z = x + (y + z)
(Huntington)  (x' + y)' + (x' + y')' = x

Sistem ini berhasil menurunkan semua identitas logis dalam Aljabar Boole.


Tak lama kemudian muridnya, Herbert Ellis Robbins (1915-2001) mencoba menyederhanakan sistem aksioma Huntington menjadi sistem 3 aksioma berikut

(Komutativitas)                  x + y = y + x
(Asosiativitas)           (x + y) + z = x + (y + z)
(Robbins)    ( (x + y)' + (x + y')')' = x

Namun sayang, Robbins tidak bisa membuktikan bahwa aljabar yang dibangun dengan tiga aksioma ini adalah identik dengan aljabar Boole. Bahkan banyak matematikawan telah mencoba membuktikan secara manual bahwa aljabar Robbins identik dengan aljabar Boole, namun semuanya berujung pada kegagalan. Baru pada tahun 1996, sebelum Robbins meninggal dunia, akhirnya dugaannya itu dibuktikan benar oleh William McCune dengan bantuan komputer .