Dialog tentang Silogisme Boole

DIALOG TENTANG SILOGISME BOOLE

Armahedi Mahzar (c) 2016 

George Boole

Ki Algo baru saja menemukan sebuah metoda untuk menentukan keabsahan sebuah silogisme dengan menggunakan notasi asli George Boole untuk operasi-operasi logika. Metoda itu sangat mudah: cukup menghitung nilai rumus silogisme dengan notasi Boole tersebut. Jika hasilnya sama dengan 1, maka silogisme itu absah atau benar. Jika tidak berari tidak absah.

Ki Algo sangatlah gembira, karena George Boole sendiri tidak mengetahui metoda yang ditemukannya tersebut. Lalu dia pun menemui Ni Suiti, istrinya, untuk memamerkan penemuan yang menurutnya luar biasa itu. Berikut adalah dialog antara kedua suami istri kakek nenek itu. Kalau anda sudah lulus SMP, pastilah bisa memahaminya :)

Ki Algo: Mau belajar logika cara mudah?
 

Ni Suiti: Wah, memangnya logika mudah? Saya sudah baca risalahnya Aristoteles, pusingnya setengah mati.

Ki Algo: Mudah kalau kamu belajar aljabar Boole.

NOTASI ASLI ALJABAR BOOLE

Ni Suiti: Ya, aljabar boole memang mudah karena hanya ada dua bilangan yaitu 1 dan 0. Tapi saya bingung baca keterangan Boole di bukunya Laws of Thought tentang silogisme. Rumusnya tentang kesimpulan sebuah silogisme umum sangatlah panjang dan kompleks. Saya gagal paham.

Ki Algo: Ya, jangan baca itu. Boole memang mau pecahkan silogisme Aristoteles dengan cara aljabar. Makanya jadi susah. Saya punya cara yang mudah.

Ni Suiti:  Bagaimana tuh?

Ki Algo: Saya akan pakai notasi asli Boole untuk logika. TIDAK x ditulis sebagai 1-x. Sedangkan x ATAU y ditulis sebagai x + y. Jadi TIDAK bisa diganti dengan '1-' dan ATAU bisa diganti dengan '+'.

Ni Suiti: Ya, itu sih saya tahu. Pernyataan logis x DAN y ditulis sebagai xy (x KALI y).

Ki Algo: Memang begitu cara berpikir Boole. Tapi kalau dia tidak menganggap perkalian sebagai operasi fundamental, maka aritmetika logika menjadi lebih sederhana.

Ni Suiti:  Oh, ya. Mana bisa?

Ki Algo: Pakai saja hukum de Morgan TIDAK (x DAN y) = TIDAK x ATAU TIDAK y

1-(xy)= 1-x+1-y. Kalau ini diselesaikan, kita dapat xy=x-1+y.

Jadi DAN bisa diganti dengan '-1+'.

Ni Suiti:  Hahaha, bagus juga tuh. Bagaimana dengan JIKA p MAKA q?

Ki Algo: Ganti saja JIKA dengan '1-' dan ganti MAKA dengan '+'. Jadi rumus Boole untuk JIKA p MAKA q adalah 1-p+q.

Ni Suiti:  Wah, saya gak pernah lihat itu di bukunya Boole.

Ki Algo: Itulah dia, Boole terobsesi dengan aljabar. Jadi dia tak memerlukan penulisan aritmetika untuk operasi JIKA dan MAKA. Padahal, kalau dia membebaskan dirinya dari obsesi itu, dia akan lebih mudah menganalisis silogisme Aristoteles.

RUMUS UMUM SILOGISME

Ni Suiti: Ya. Silogisme Aristoteles JIKA alasan1 DAN alasan2 MAKA kesimpulan. Dengan rumus kamu silogisme itu jadi 1-(alasan1-1+alasan2)+kesimpulan = 1-alasan1+1-alasan2+kesimpulan.

Ki Algo: Dengan rumus ini, kita hanya memeriksa apakah ini menghasilkan 1 yang menurut Boole adalah lambang untuk BENAR. Jika hasilnya sama dengan satu silogisme itu ABSAH atau BENAR.

RUMUS PERNYATAAN ARISTOTELES

 

Ni Suiti:  Tapi, bagaimana kita menyatakan pernyataan kategoris Aristoteles secara matematis?

Ki Algo:Maccoll menyatakan bahwa pernyataan SEMUA a ITU b itu sama dengan pernyataan JIKA a MAKA b jadi rumusnya adalah 1-a+b. Mudah bukan?

Ni Suiti: Kalau SEMUA a TIDAK b?

Ki Algo: Tentu saja 1-a+1-b.

Ni Suiti:  Kalau SEBAGIAN a ITU b?

Ki Algo: SEBAGIAN a TIDAK b itu sama dengan TIDAK SEMUA a TIDAK b. Jadi rumusnya adalah 1-(1-a+1-b) atau a-1+b.

Ni Suiti:  kalau SEBAGIAN A TIDAK b?

Ki Algo: Tentu saja a-1+1-b atau a-b.

PEMBUKTIAN SILOGISME

 

Ni Suiti:  OK, coba lihat saya punya silogisme JIKA SEBAGIAN a ITU b DAN SEBAGIAN c TIDAK b MAKA SEBAGIAN a ITU c.

Ki Algo: Seperti dikatakan terdahulu rumus umum silogisme adalah

1-alasan1+1-alasan2+kesimpulan.

Untuk silogismemu rumusnya

1-(a-1+b)+1-(c-b)+(a-1+c) yang kalau dievaluasi

1- a+1-b +1- c+b + a-1+c hasilnya sama dengan 2.

Jadi silogisme itu nilainya tidak sama dengan 1. Dengan demikian dia tidak benar.

Ni Suiti:  Coba sekarang dengan silogisme Barbara ini JIKA SEMUA b ITU c DAN SEMUA a ITU b, MAKA SEMUA a ITU c!

Ki Algo:Rumus silogisme ini adalah

1-(1-b+c)+1-(1-a+b)+1-a+c. Dievaluasi jadi

1- 1+b-c +1- 1-a-b +1-a+c

dan hasilnya adalah 1. Jadi silogisme Barbara itu BENAR atau ABSAH.

Ni Suiti:  Wah, terima kasih. Saya akan coba untuk semua silogisme absah yang ada dalam tabel silogisme Leibniz ini.

Tabel Silogisme Leibniz

Ki Algo: Wow, jumlah silogisme dalam tabel itu ada 24. Untuk mempermudah pembuktianmu, evaluasi saja rumus bagi alasan1 DAN alasan2 jika hasilnya adalah rumus dari kesimpulan, maka silogisme itu absah

Ni Suiti: OK  '

DIALOG AKHIR 

Setelah mencoba keampuhan metoda Ki Algo itu, besoknya Ni Suiti menemui Ki Algo dan mengatakan begini

Ni Suiti: Wow, metodamu benar-benar ampuh dan mudah karena bisa dipelajari oleh anak SMP. Tapi, alhamdulillah, diilhami dari dari metodamu itu aku bisa mentransformasi metodamu menjadi berbagai permainan barang yang bisa dimainkan anak TK dengan mudah.

Ki Algo: Huh, bagaimana bisa?

Ni Suiti:  Lain kali saja yah penjelasannya?

Ki Algo: Baiklah. Aku sabar menanti.

Sistem Aritmetika Boole

SISTEM ARITMETIKA LOGIKA BOOLE

Armahedi Mahzar (c) 2015


Dalam blog yang lalu, saya telah menunjukkan bahwa seluruh tautologi atau kebenaran logika, dapat dibuktikan secara aksiomatis dari 1 atau BENAR dengan hanya menggunakan aturan-aturan ilmu hitung saja dan definisi-definisi hubungan logika dengan perjanjian George Boole. Saya sebut saja sistem baru ini sebagai Sistem Aritmetika Boole.

Sistem ini jauh lebih sederhana dari sistem eksistensial graf, temuan Charles Sanders Peirce, yang juga mengambil BENAR sebagai aksioma tunggal, karena sistem ini tidak memerlukan lima kaidah penyimpulan logika seperti yang dibutuhkan oleh sistem graf eksistensial Peirce.

Saya sebenarnya juga telah berhasil menyederhanakan sistem eksistensial graf Peirce dengan cara mengambil KONSISTENSI sebagai aksioma tunggal dan menggunakan satu kaidah penyimpulan saja yaitu ITERASI yang menggabungkan dua kaidah  Peirce: iterasi dan deiterasi.

Dalam sistem iterasi sederhana ini, kaidah-kaidah Peirce yang lain dapat dibuktikan dari aksioma KONSISTENSI sebagai teorema-teorema. Ketika menemukan penyederhanaan itu saya senangnya bukan main. Tetapi kesenangan itu kalah jauh dibandingkan kebahagiaan saya menemukan Sistem Aritmetika Boole yang dibahas di sini.

Berikut ini akan dipaparkan tiga macam proses penyimpulan logis menggunakan Sistem Aritmetika Boole ini yaitu: produksi, reduksi dan deduksi.

 

Sistem Aritmetika Boole

 

Seluruh aljabar Boole dapat diturunkan dari sebuah aksioma tunggal supersederhana dan seperangkat kaidah aritmetika sebagai sarana pembuktian.

Konvensi Notasional Boole

1 adalah notasi untuk BENAR
0 adalah notasi untuk SALAH
1-x adalah notasi untuk TIDAK x
x+y adalah notasi untuk x ATAU y
x-1+y adalah notasi untuk x DAN y
1-x+y adalah notasi untuk JIKA x MAKA y


Aksioma tunggal: BENAR
1

Kaidah aritmetika

K1: x-x = 0
K2: -(x+y)=-x-y
K3: -(-x)=+x

Dengan sistem ini semua tautologi Boole dapat diturunkan dengan tiga cara pembuktian: produksi, reduksi dan deduksi.

Tiga metoda Pembuktian

 

Proses produksi adalah mnunjukkan bahwa aksioma 1 atau BENAR itu ekivalen dengan rumus yang hendak dibuktikan. Proses reduksi membuktikan bahwa rumus yang hendak dibuktikan ekivalen dengan 1 atau BENAR. Proses deduksi menunjukkan bahwa ruas kanan tautologi yang akan dibuktikan memang ekivalen dengan ruas kirinya.

Contoh 1: Bukti Produktif Barbara

1=                           {aksioma}
=1 -1+a-b +1 -1+b-c +1-a+c   {K1}
=1-(1-a+b)+1-(1-b+c)+(1-a+c) {K2, K3}
=1 -Aab +1- Abc +Aac         {definisi}
=1-(Aab-1+Abc) + Aac         {K3}
=JIKA Aab DAN Abc MAKA Aac   {definisi}
=Barbara                     {penamaan}

Jadi Barbara = BENAR

Contoh 2: Bukti Reduktif Celarent

Celarent =
= JIKA (Ebc DAN Aab), MAKA Eac
= 1-(Ebc-1+Aab) + Eac            {definisi}
= 1-(1-b+1-c)+1-(1-a+b)+(1-a+1-c){definisi}
= 1 -1+b-1+c +1 -1+a-b +1-a+1-c  {K2}
= 1                              {K1}
= BENAR                          {konvensi Boole}

Contoh 3: Bukti deduktif Ferio

Ebc DAN Iab =                   {Ruas Kiri}
= 1-b+1-c -1+ a-1+b             {definisi}
= a - c                         {K1}
= Oac                           {definisi}

Kesimpulan

 

1. Sistem Aritmetika Boole adalah sistem aksiomatik logika yang sangat sederhana dengan aksioma tunggal 1 dan kaidah inferensi aritmetik.

2. Ada tiga proses penyimpulan yang dapat dimanfaatkan oleh Sistem Aritmetika Boole untuk membuktikan kebenaran semua tautologi.

3. Yang paling kompleks adalah metoda produktif dan yang paling mudah adalah metoda deduktif.

 

Catatan akhir

 

Aritmetika logika Boole seperti dengan aljabar logika Boole bisa disimulasi dengan permainan logika barang-barang. Barang-barang yang digunakan bisa berupa batang berwarna, gundu berwarna dan sehelai kartu, kartu-kartu Bridge, bidak dan papan catur. Mudah-mudahan saya bisa menunjukkannya pada posting-posting blog berikutnya.

Satunya Logika

Satunya Logika:
Dasarnya 1 Jua

Armahedi Mahzar (c) 2014

Bagi saya, orang fisika, kesederhanaan adalah sebuah keindahan. Misalnya, ketika kita ingin melukiskan gerak semua benda, di bumi atau pun di langit, kita cukup menggunakan tiga hukum Newton saja + satu hukum gravitasi. Bagi saya ini sama indahnya dengan kenyataan bahwa untuk menerangkan begitu banyak fakta geometris, kita hanya butuh enam aksioma saja. Keindahan geometri ini saya dapatkan ketika di SMP masih diajarkan aksiomatika ilmu ukur sebagai mata pelajaran.

Di abad ke 19 ketika George Boole akhirnya merumuskan logika sebagai sebuah aljabar berdasarkan sebuah aritmetika yang sangat sederhana yang hanya berbasis dua bilangan yaitu 0 dan 1. Dengan formulasi baru ini silogisme dalam logika verbal Aristoteles   menjadi sekedar sebuah hal khusus. Namun saya masih bertanya-tanya: berapa aksioma aljabar logika.

Persoalannya, apakah yang menjadi hukum dasar logika dan berapakah jumlahnya? Hukum dasar dalam matematika disebut aksioma. Misalnya geometri Euklides dibangun atas dasar enam buah aksioma. Itulah sebabnya di masa mahasiswa, ketika mengetahui bahwa kalkulus proposisi Whitehead-Russell, dalam bukunya Principia Mathematica, dibangun di atas lima aksioma dan satu kaidah inferensi, saya jadi terkagum-kagum. Akan tetapi, ternyata kekaguman itu belumlah apa-apa. Dia hanyalah langkah awal dalam perjalanan menuju kekaguman tertinggi nanti di masa purnabakti.

Ketika saya jadi dosen di tahun 70an abad lalu, di perpustakaan British Council Bandung menemukan sebuah buku berjudul "Laws of Form", karangan George Spencer Brown

, yang dipuji oleh Russell sebagai penemuan terbesar di bidang matematika saya pun sangat tertarik. Tetapi kemudian sangat kecewa, karena tidak bisa memahami rumus-rumus aneh yang tercantum dalam buku itu. Sayangnya, kemudian buku itu hilang dari rak buku perpustakaan sehingga tak pernah bisa saya baca lagi.

Untunglah, ketika saya bisa terhubung ke internet pada tahun 2000, ketika saya pensiun, saya menemukan buku elektronik berjudul sama "Laws of Form" karangan Louis Kauffman . Dari buku itu, saya tahu bahwa rumus-rumus aneh dalam buku kertas tahun 70-an sebenarnya adalah rumus-rumus aljabar logika Boole dalam notasi inkonvensional.

Yang paling menggembirakan saya adalah kenyataan bahwa Spencer-Brown berhasil memangkas jumlah aksioma Russel-Whitehead menjadi cukup dua. Bagi saya, ini berarti logika secara matematika, lebih indah daripada geometri. Inilah yang mengagumkan saya. Aljabar Boole ternyata hanya bersandar pada sepasang aksioma. Di akhir tulisan ini akan saya tunjukkan bahwa dasar aksioma aljabar logika bukanlah dua, tetapi satu yaitu 1. Silahkan ikuti perjalanan saya menuju kebenaran itu.

1. Kesatuan aksiomatik logika

Ketika saya menemukan bahwa ada fondasi ganda ruang logika saya pun bertanya: apakah hanya sampai ke situ keindahan logika? Puji Allah, logika ternyata jauh lebih indah. Soalnya, saya temukan kemudian, Louis Kauffman berhasil memotong jumlah aksioma aljabar logika: hanya butuh sebuah aksioma tunggal. Namun sayangnya, aksioma itu ketika saya baca pertama sangatlah tidak intuitif. Syukurlah dalam bukunya, Kauffman menyatakan bahwa rumus-rumus Brown yang aneh itu dapat dibaca dengan dua kerangka makna yang berbeda: yang disjungtif dan yang konjungtif.

Dalam kerangka makna disjunktif, seperti yang dianut Spencer-Brown, penjajaran dua huruf, yang melambangkan dua pernyataan, dianggap sebagai penggabungan keduanya melalui ATAU. Dalam kerangka konjungtif, seperti yang di anut Charles Sanders Peirce  , penjajaran itu dibaca sebagai penggabungan kedua pernyataan melalui DAN. Dalam penggabungan disjungtif, KOSONG dibaca sebagai simbol bagi SALAH, sedangkan pada penggabungan konjungtif, KOSONG adalah lambang dari BENAR.

Ketika saya membaca aksioma tunggal Kauffman secara konjungtif, maka saya segera melihat bahwa sang aksioma tunggal itu sebenarnya tak lain tak bukan dari pada pernyataan matematis dari sebuah prinsip kuno, pra-Aristoteles, Contradictio ad Absurdum. Prinsip itu menyatakan bahwa sebuah pernyataan benar jika dan hanya jika penyangkalannya kontradiktif. Ini sangat intuitif, karena prinsip itu berarti: A ITU BENAR JIKA DAN HANYA JIKA TIDAK A ITU TIDAK BENAR.

Bisa dibayangkan betapa bahagianya saya, ketika menemukan bahwa aljabar logika Boole yang modern itu ternyata landasannya tak lain tak bukan adalah sebuah prinsip Logika kuno yang sudah dikenal jauh sebelum Aristoteles menyusun ilmu logika. Kenyataan ini menunjukkan bahwa dasar logika itu hanya satu dan yang satu ini ternyata sangat intuitif. Bagi saya inilah kesederhanaan ultima yang menunjukkan keindahan ultima dari logika.

2. Kesatuan silogistik

Namun, kebahagiaan saya itu tercemar karena saya tak sanggup menurunkan silogisme Aristoteles dari aljabar Boole. Penjelasan Boole di bukunya yang terkenal itu "Laws of Thought" mengenai cara membuktikan silogisme Aristoteles benar- benar diluar kemampuan pemahaman saya karena begitu kompleksnya. Namun, dalam apendiks buku "Laws of Form" Spencer Brown memaparkan pembuktian keabsahan satu silogisme Aristoteles yaitu Barbara dari aljabar dengan menggunakan notasi anehnya tersebut.

Spencer-Brown bahkan menyatakan bahwa keseluruhan 24 ragam silogisme absah bisa dibuktikan dengan cara yang sama. Saya tidak tahu, apa saja ke 24 ragam silogisme itu. Untungnya, saya akhirkan menemukannya dalam artikel Wikipedia tentang silogisme. Bertahun-tahun saya gagal mencoba untuk membuktikan pernyataan Brown itu. Untuk itu, untunglah, saya ditolong oleh notasi piktorial Kauffman yang melambangkan operasi TIDAK dengan pengurungan dalam suatu KOTAK.

Untuk memudahkan visualisasi. saya mengganti huruf-huruf dalam aljabar Kotak Kauffman dengan bola-bola warna-warni. Aljabar piktorial yang baru itu saya sebut sebagai Logika obyek. Alhamdulillah, dengan membaca aljabar kotak Kauffman sebagai permainan hapus-hapusan gambar, akhirnya saya bisa membuktikan keabsahan ke 24 silogisme Aristoteles-Leibniz itu.

Bahkan pada ujungnya, saya bisa membuktikan ke 24 silogisme absah itu ekivalen satu sama lainnya. Kenyataan yang saya sebut sebagai kesatuan silogistik ini membuat hati saya lebih bahagia lagi. Soalnya, saya menemukan apa yang belum pernah diungkap oleh orang lain sepanjang pencarian saya di Internet lewat mesin pencari Google. Penemuan saya itu saya laporkan dalam rangkaian blog yang kemudian saya satukan dalam sebuah bukel: Syllogistic Unity.

3. Kesatuan Tautologis Kebenaran

Akan tetapi, kegembiraan itu tidaklah berlangsung lama, ketika kemudian menyadari bahwa hal itu trivial, karena jika sebuah silogisme absah berarti dia ekivalen dengan 1 atau BENAR. Karena semuanya sama dengan satu harga, maka dengan sendirinya semua silogisme absah itu ekivalen satu sama lainnya. Namun, penemuan ini justru menunjukkan bahwa semua identitas logika atau tautologi Boole sebenarnya juga ekivalen satu sama lainnya. Soalnya setiap silogisme yang absah sebenarnya hanyalah sebuah tautologi.

Penemuan kesatuan tautologis yang lebih besar ini, sebenarnya, sangat mengejutkan saya. Soalnya, setiap sistem aksiomatik aljabar logika adalah lengkap karena bisa membuktikan semua tautologi atau kebenaran logis yang ada. Hebatnya, semua tautologi logika itu, nyatanya, bisa diturunkan dari aksioma dengan hanya menggunakan kaidah-kaidah substitusi aljabar. Artinya kesatuan tautologis kebenaran-kebenaran logika itu bersifat aljabaris atau matematis.

Kesatuan tautologis ini menunjukkan bahwa keabsahan silogisme itu sebagai sebuah tautologi, sebenarnya bisa diturunkan dari Principia ad Absurdum juga. Inilah pembuktian itu: sebuah silogisme benar, jika dan hanya jika penyangkalannya salah.

Penyangkalan sebuah silogisme disebut Christine Ladd-Franklin ,   mahasiswanya Peirce yang kemudian jadi Doktor wanita pertama Amerika Serikat di bidang ilmu kealaman, sebagai antilogisme. Jadi silogisme absah sama saja dengan antilogismenya salah. Artinya memang silogisme absah bisa diturunkan dari aksioma tunggal Kauffman: Contradictio ad Absurdum. Fakta ini menggembirakan hati saya.

4.Dasar kesatuan: 1

Namun, berawal dari rujukan Kauffman, akhirnya saya menemukan bahwa Charles Sanders Peirce sebenarnya telah membangun sistem logika, yaitu sistem graf eksistensial, dengan hanya satu aksioma juga, tetapi aksiomanya jauh lebih sederhana dari prinsip Contradictio ad Absurdum yang rumusnya a JIKA DAN HANYA JIKA(JIKA TIDAK a MAKA b) DAN (JIKA TIDAK a MAKA TIDAK b). Aksiomanya hanyalah 1 atau BENAR yang dilambangkan dengan KOSONG dalam sistem graf eksistensial. Principia Contradictio ad Absurdum atau aksioma tunggal Kauffman hanyalah sebuah teorema dalam sistem aksioma Graf Eksistensial Peirce

Peirce membuktikan ini dengan 5 kaidah inferensi yang mungkin sulit untuk diingat. Saya akan membuktikannya secara matematis dengan notasinya Boole TIDAK(x)=1-x, x DAN y = x-1+y dan JIKA x MAKA y = x->y = 1-x+y sebagai berikut

1 = (1-a) -1 +(1+a)                                                     {karena 1-1=0 dan a-a=0}
= (1-a-a + a)-1+(1-a + a+a)                                       {karena a-a=0}
= (a+a->a) DAN (a+a->a)                                         {karena definisi x->y dan x DAN y}
= (a+a = a)                                                                 {karena definisi x=y}
= ((a+b)-1+(a+1-b) = a)                                            {karena 1-1=0 dan b-b=0}
= ((1-(1-a)+ b)-1+(1-(1-a)+1-b) = a)                        {karena -(-a)=+a dan 1-1=0}
= ((TIDAK(a)->b)DAN(TIDAK(a)->TIDAK(b)) = a) {karena definisi x->y dan TIDAK(x)}
= (JIKA TIDAK(a) MAKA b) DAN (JIKA TIDAK(a) MAKA TIDAK(b)) = a {penjabaran -> dalam kata-kata}

Karena BENAR adalah 1, maka aksioma tunggal Kauffman (JIKA TIDAK(a) MAKA b) DAN (JIKA TIDAK(a) MAKA TIDAK(b)) = a yang dirumuskan dalam Aljabar KOTAK Kauffman sebagai sebagai [[a]b][[a][b]]=a adalah BENAR.

Kesimpulan:

Kalau geometri Euklides memerlukan 6 aksioma, ternyata aljabar Boole hanya memerluka satu aksioma saja dan aksioma tunggal itu adalah 1 seperti telah dibuktikan di atas. Kalau dulu, sewaktu jadi siswa SMP, saya mengagumi keindahan geometri Euklides yang mendeskripsikan ruang fisik yang dihuni alam semesta ini dengan basis 6 aksioma, maka kini, di masa pensiun, saya dihadapkan fakta luar biasa tentang kemahaindahan ruang mental yang dihuni alam cita dengan 1 aksioma yaitu 1. Ini sebuah kebahagiaan saya yang belum ada taranya. Karena alam semesta berasal dari SATU MUTLAK sesuai dengan TAUHID, ternyata alam cita asalnya juga satu nisbi. Satu nisbi hanyalah bayangan dari SATU MUTLAK. Allahu Akbar.  AlhamdulillahirRabil 'alamin.

Permainan Barang-barang Logika

PERMAINAN BARANG-BARANG LOGIKA

Armahedi Mahzar (c) 2014

Dalam blog yang lalu telah ditunjukkan bagaimana pembuktian keabsahan suatu silogisme dibuktikan melalui susun-bongkar batang-batang berwarna yang masing-masingnya adalah lambang kongkret dari pengertian abstrak. Dalam permainan itu, batang yang posisinya miring adalah lambang dari lawan penegertian yang dilambangkan oleh batang posisinya tegak.

Dalam blog ini akan ditunjukkan bahwa dengan benda sembarang yang berbeda sebagai lambang kongkret dari pengertian abstrak, dengan pertolongan sebuah kertas, maka pembuktian keabsahan silogisme menjadi sebuah permainan susun-bongkar yang sangat sederhana yang bisa diajarkan pada anak-anak praTK yang belum bisa membaca huruf-huruf. 

Pernyataan Kategoris fundamental Aristoteles

Dalam permainan barang-barang logika, setiap pernyataan kategoris fundamental Aristoteles diganti dengan susunan dua buah barang yang melambangkan pengertian dalam pernyataan itu. Bagaimana susunan itu dibuat? Caranya adalah dengan mengikuti aturan berikut

• Gantilah kata 'semua', 'itu tidak' dan 'yang tidak'
  dengan kata 'di atas kertas ada'
  
  
• Gantilah kata 'ada', 'itu' dan 'yang'
  dengan kata 'di luar kertas ada'
  
  
• Gantilah huruf 'x'
  dengan 'benda x'

Sehingga susunan barang pelambang pernyataan kategoris Aristoteles adalah sebagai berikut;

1. Pengakuan Umum ‘semua a itu b’
   dilambangkan oleh
   
   di atas kertas ada benda a
   di luar kertas ada benda b
2. Penyangkalan Umum ‘semua a itu tidak b’
   dilambangkan oleh
   
   di atas kertas ada benda a
   di atas kertas ada benda b
3. Pengakuan Khusus ‘ada a yang b’
   dilambangkan oleh
   
   di luar kertas ada benda a
   di luar kertas ada benda b
4. Penyangkalan Khusus ‘ada a yang tidak b’
   dilambangkan oleh
   
   di luar kertas ada benda a
   di atas kertas ada benda b

Jika benda a dan b masing-masingnya dinyatakan oleh gundu merah dan hijau,
maka pernyataan kategoris fundamental Aristoteles dapat ditabelkan sebagai berikut:

Permainan sebagai Simulasi Pembuktian

Dengan perjanjian penggantian kata-kata logis dengan kedudukan barang-barang sperti di atas, maka pembuktian keabsahan silogisme itu dapat dilakukan dengan memainkan langkah-langkah berikut

1. letakkan sehelai kertas (misalnya sehelai kartu)
2. lambangkan masing-masing alasan dengan susunan benda (misalnya gundu berwarna) yang bersesuaian
3. buang pasangan benda serupa (misalnya gundu sewarna) yang berseberangan
   dimana kesimpulannya adalah pembacaan makna susunan pasangan benda yang tertinggal

Contoh-contoh Pembuktian Silogisme

Berikut ini disampaikan pembuktian silogisme melalui permainan benda kertas.

Silogisme Universal

Alasan dari silogisme Barbara adalah

semua b itu c DAN
semua a itu b

yang bisa dilambangkan oleh

di atas kertas ada benda b (misalnya gundu biru)
di luar kertas ada benda c (misalnya gundu hijau)

di atas kertas ada benda a (misalnya gundu merah)
di luar kertas ada benda b (yaitu gundu biru)

Jika pasangan benda b yang berseberangan dibuang, maka akan tinggal

di atas kertas ada benda a (yaitu gundu merah)
di luar kertas ada benda b (yaitu gundu hijau)

yang maknanya adalah

semua a itu c

Ringkasnya sebagai berikut

Pembuktian silogisme-silogisme tanpa asumsi eksistensial secara umum, dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Silogisme Eksistensial

Untuk pembuktian silogisme absah dengan asumsi eksistensial (anggapan tentang adanya suatu pengertian) dapat dilihat dalam tabel berikut ini. Dengan membuang pasangan gundu sewarna yang berseberangan letaknya terhadap kartu, kita akan mendapatkan susunan barang-barang yang mewakili kesimpulan dari silogisme itu.

Catatan Akhir

Pembuktian keabsahan 24 silogisme Aristoteles Leibniz itu dapat disimulasi dengan sebuah permainan susun-bongkar benda-benda kongkret.  Permainan simulasi logika yang disampaikan di sini sebenarnya bisa dianggap sebagai simulasi aljabar Peirce atau simulasi aljabar Sommers atau simulasi metoda Ploucquet. 

Permainan ini lebih sederhana dari simulasi aljabar Boole yang dirumuskan sebagai aljabar kotak Kauffman dalam bentuk aljabar obyek logika Dalam aljabar obyek ini pembuktian dilakukan melakukan tiga macam transformasi, yang  bersesuaian dengan tiga aksioma aljabar batas logika Bricken,  secara tepat berulang.

Permainan logika yang diuraikan diatas lebih sederhana daripada permainan aljabar obyek logika karena hanya membutuhkan satu langkah pembuangan saja, sehingga pembuktian keabsahan sustu silogisme menjadi sangat mudah

Permainan Batang Logika Berwarna

Permainan Batang Logika Berwarna

Armahedi Mahzar (c) 2014

Dalam blog yang lalu telah ditunjukkan bahwa penggabungan dan pembuangan garis-garis sejajar berwarna-warni dengan dua ukuran dapat membuktikan setiap silogisme absah yang ditabelkan oleh Leibniz. Proses pembuktian kombinatorik itu bisa disimulasikan dengan permainan susun-bongkar batang-batang berwarna dua ukuran.

Berikut ini akan ditunjukkan kita bisa membuat permainan susun-bongkar batang-batang berwarna-warni satu ukuran saja. Rahasianya adalah kenyataan bahwa kita bisa mengganti batang panjang yang menyatakan penyangkalan satu pengertian dengan batang yang mewakili pengertian itu dalam keadaan miring.

Pernyataan  Kategoris Fundamental Aristoteles                       

Jika subyek a diwakili oleh batang tegak merah  dan predikat b diwakilkan oleh batang tegak hijau, maka pernyataan kategoris fundamental Aristoteles diwakilkan oleh pasangan batang seperti pada tabel  sebagai berikut

Alasan dan kesimpulan suatu silogisme bentuknya adalah salah satu dari keempat pernyataan tersebut.

Pembuktian Keabsahan Silogisme

Langkah permainan yang mencerminkan pembuktian keabsahan suatu silogisme meliputi langkah-langkah berikut
    (1) menggabung pasangan batang yang mewakili kedua alasan sebuah silogisme
    (2) membuang pasangan batang  sewarna dengan posisi yang berlawanan
    (3) meletakkan batang yang mewakili subyek pada alasan kedua sebagai batang yang mewakili subyek pada kesimpulan silogisme tersebut.

Dengan permainan seperti ini, kita dapat melakukan pembuktian silogisme-silogisme absah dengan mudah, karena hasil akhir permainan itu adalah bayangan dari kesimpulan silogisme  yang dapat kita bandingkan dengan kesimpulan pada tabel Leibniz berikut:
  

Catatan Akhir

1.    Tampaknya, permainan batang berwarna ini sangat mudah sehingga bisa diajarkan pada anak-anak TK sekali pun.
2.    Sayangnya, permainan ini hanya bisa dimainkan dengan benda-benda panjang seperti misalnya sebuah batang,  tetapi tidak dengan benda dengan bentuk sembarang.
3.    Insya Allah, dengan pertolongan sehelai kertas permainan simulasi pembuktian keabsahan sebuah silogisme bisa dilakukan dengan pasangan barang barang sembarang seperti yang akan saya sampaikan pada blog berikkutnya.

Kombinatorik Garis Logika Berwarna

Kombinatorik Garis Logika Berwarna
       Armahedi Mahzar (c) 2014

Dalam blog yang lalu telah ditunjukkan bahwa kombinatorik huruf Ploucquet bisa digunakan  sebagai alat untuk mencari kesimpulan dari sebuah silogisme absah, lebih sederhana daripada  aritmetik logika mana pun, apakah aritmetika Boole, Peirce ataupun Sommers. Rahasianya adalah penggantian operasi biner aritmetik dengan operasi penggabungan, sedangkan operasi pembalikan tanda  dengan operasi pengubahan jenis huruf.

Metoda huruf besar kecil Ploucquet ini memang sederhana, namun jika tulisan huruf sebunyi diganti dengan gambar baris sewarna, maka silogisme menjadi lebih visual dan metodanya bisa diajarkan pada seorang anak pra-sekolah yang belum bisa membanca huruf-huruf. Oleh karena itu, untuk memvisualkan metoda huruf Ploucquet itu tampaknya kita bisa:
    - mengganti tulisan huruf kecil dengan gambar garis pendek
    - mengganti tulisan huruf besar dengan gambar garis panjang
   - mengganti nama huruf dengan warna-warna garis

Dengan demikian, maka dalam metoda kombinasi garis ini
- pengertian a dinyatakanoleh garis pendek  
- TIDAK a dinyatakan oleh garis panjang 
- a DAN b dinyatakan oleh penjajaran dua garis

Pernyataan  Kategoris Fundamental Aristoteles                       

Jika a =   dan b =, maka pernyataan kategoris fundamental Aristoteles dilukiskan sebagai berikut

Alasan dan kesimpulan suatu silogisme bentuknya adalah salah satu dari keempat pernyataan ini.

Pembuktian keabsahan Silogisme

Algoritma pembuktian meliputi langkah-langkah
    - menggabung gambar kedua alasan
    - membuang pasangan gambar garis sewarna yang berlawanan
   - meletakkan subyek alasan kedua sebagai subyek kesimpulan

Dengan notasi gambar seperti ini kita dapat melakukan pembutian silogisme-silogisme absah dengan mudah. Misalnya, pembuktian keabsahan silogisme Barbara dalam metode kombinatorik garis warna adalah sebagai berikut
Abc DAN Aab =

    = Aac

Pembuktian keabsahan silogisme lain dapat dilihat pada tabel Leibniz berikut

Catatan Penutup

1. Sebenarnya metoda garis berwarna di atas adalah penyederhanaan dari metoda garis PLoucquet berikut ini

 

di mana universalitas diganti dengan negativitas dan susunan dua dimensi (dari bawah ke atas/dari kiri ke kanan) diganti dengan susunan linier satu dimensi (dari kiri kekanan) batang-batang tegak.
2. Metoda kombinasi garis ini dapat disimulasi dengan permainan susun-bongkar dua jenis batang (panjang dan pendek) berwarna-warni.
3. Permainan batang berwarna sebagai simulasi deduksi logika bisa disederhanakan dengan memainkan satu ukuran batang berwarna tetapi dengan kedudukan berbeda. Permainan logika inilah yang akan dibahas dalam blog berikutnya.

Kombinatorik Huruf Logika Ploucquet

Kombinatorik Huruf Logika Ploucquet

Armahedi Mahzar (c) 2014

Gottfried Ploucquet
(1716-1790)

Dalam blog-blog terdahulu, saya menunjukkan bahwa ada tiga macam aritmetika logika dengan simbolisme berbeda (aritmetika Boole, Peirce dan Sommers) tetapi ketiganya secara struktural mirip satu sama lainnya. Intinya setiap pernyataan logika dinyatakan dengan untaian huruf dan simbol-simbol operasi matematika.

+===============================================+
|        pengertian BENAR SALAH TIDAK  ATAU DAN |
+-----------------------------------------------+
|Boole   huruf        1     0    1-     +   -1+ |   
|Peirce  huruf        0     1    1/     +    x  |
|Sommers huruf        1     0     -          +  |
+-----------------------------------------------+''

Kemiripan susunan itu dapat ditunjukkan melalui tabel berikut

+==========================================+
|        JIKA p DAN q MAKA r               |
|      = TIDAK(p DAN q) ATAU r             |
+------------------------------------------+
|Boole   1-(p-1+q)+r      = 1-p+1-q +r     |
|Peirce  1/(pq/r)         = 1/p 1/q  r     |
|Sommers -((p+q)--r)      =  -p  -q +r     |                   
+------------------------------------------+

Pembuktian keabsahannya mempunyai prosedur yang sama.
yaitu pelenyapan pasangan variabel yng berlawanan.

Melihat kemiripan struktural dan prosedural ini, kita dapat menduga
bahwa ada sebuah perumusan yang lebih sederhana simbolisasinya.
Berikut ini adalah salah satu bentuk penyederhaannya.
Untuk mudahnya, saya akan gunakan aritmetika Sommers sebagai rujukan.
   

Menyingkat aritmetika logika   

Untuk menyingkat aritmetika Sommers, kita bisa
- menulis tanda + dengan spasi atau tak ada simbol sama sekali
- menulis -x sebagai X alias huruf besar x.

Peryataan Kategoris Aristoteles

Berdasarkan perjanjian penyingkatan tersebut, kita dapat menuliskan pernyataan kategoris fundamental Aristoteles sebagai berikut:

(1) pengakuan umum
    Aab yaitu 'semua a adalah b' bisa ditulis sebagai Ab
(2) penyangkalan umum
    Eab yaitu 'tiada a yang b' bisa ditulis sebagai AB
(3) pengakuan khusus
    Iab yaitu 'ada a yang b' bisa ditulis sebagai ab
(4) penyangkalan khusus
    Oab yaitu 'ada a yang tidak b' bisa ditulis sebagai aB.

Pembuktian Keabsahan Silogisme

Dalam notasi ini algoritma pembuktian keabsahan ke 24 silogisme Leibnitz ,
algoritmanya menjadi sangat sederhana:

-langkah 1: tuliskan gabungan simbol bagi alasan
-langkah 2: hapuslah pasangan huruf besar/kecil yang sama.

Lebih ringkas dan lebih mudah bukan. Anak SD pun dapat melakukannya :)

Kita akan mencontohkannya
dengan membuktikan semua silogisme absah di kolom 1 pada
tabel Leibniz sekarang.

Barbara bukti ringkasnya adalah
    Abc DAN Aab = Ab Bc = Ac = Aac
Celarent buktinya sebagai berikut
    Ebc DAN Aab = Ab BC = AC = Eac
dan Darii buktinya begini
    Abc DAN Iab = ab Bc = ac = Iac
Begitu juga Ferio buktinya adalah
 Ebc DAN Iab = ab BC = aC = Oac

Untuk silogisme eksistensial pembuktiannya juga mudah
Barbari buktinya sebagai berikut
    Iaa DAN Aab DAN Abc = aa Ab Bc = ac = Iac
dan Celaront buktinya begini
    Iaa DAN Aab DAN Ebc = aa Ab BC = aC = Oac.

Silogisme di kolom-kolom lainnya juga bisa dibuktikan dengan cara yang sama.
Gunakan saja tabel Leibniz-Ploucquet berikut ini

Nah, ini supermudah bukan?
Rumusnya, tanpa tanda-tanda matematika satu pun, adalah untaian huruf besar kecil belaka.
Sedangkan algoritmanya bukan bersifat aritmetik melainkan murni kombinatorik.
Dengan demikian metodanya menjadi sangat mudah juga:
menggabung dan menghapuskan huruf-huruf.

Catatan Akhir.

Karena metoda ini mirip dengan metoda huruf Plouquet, saya sebut saja metoda itu sebagai kombinatorik huruf logika Ploucquet. Notasinya mengenai negativitas jadi mirip dengan notasi universalitas  Ploucquet. Namun, Ploucquet juga mempunyai metoda yang lebih visual, yaitu metoda kombinatorik garis yang menurut saya lebih mudah dari metoda kombinatorik huruf. Insya Allah dalam blog berikut saya akan tampilkan sebuah simplifikasi metoda Ploucquet tersebut. :)