Saya, Logika dan Internet

Armahedi Mahzar (c) 2011

Saya pensiun pada awal era internet Indonesia di tahun 1999. Apa yang saya cari di internet adalah informasi tentang teori prelepton hasil pemikiran saya tentang partikel fundamental lebih kecil dari quark dan lepton. Ternyata ada orang lain yang berpikir mirip dengan itu. Dalam teori saya itu quark dan lepton ada hubungannya dengan bilangan kuaternion yang mempunyai 3 bilangan imajiner murni Namun di Internet saya menemukan sebuah website milik Tony Smith    yang berteori bahwa quark dan lepton berhubungan dengan oktonion, yang mempunyai 7 bilangan imajiner, bukannya kuaternion.

Di website itu saya menemukan adanya bilangan sedenion dengan 15 bilangan imajiner yang membawa saya ke egroup hypernumbers@yahoo.com milik Kevin Carmody yang membahas bilangan multidimensi hypernmber yang ditemukan oleh Charles Muses . Bilangan riil, kompleks, kuaternion, oktonion dan sedenion hanyalah sebagian kecil dari jenis-jenis hypernumber yang ada. Ketika saya meneliti rumus umum perkalian sedenion yang melibatkan operasi logika yang belum pernah saya temukan sebelumnya. Operasi itu adalah operasi XOR yang ketika search di Internet membawa sampai ke sebuah situs milik George Stathis yang merumuskan aljabar logika dengan hanya dua operasi XOR dan OR yang disebutnya sebagai multiform logic algebra yang katanya adalah generalisasi dari aljabar Brownian dalam Laws of Form.

Dari situs ini saya masuk ke egroup lawsofform@yahoogroups.com milik Richard Shoup yang secara khusus membahas temuan George Spencer-Brown dalam buku Laws of Form yang pernah saya baca sekilas pada akhir masa mahasiswa puluhan tahun sebelumnya.
Pada suatu saat, ada seorang memasang link ke file buku itu dalam bentuk format pdf. Tentu saja posting itu segera didelete oleh moderator egroup, karena melanggar hukum. Tapi alhamdulillah, saya sempat mengunduhnya sehingga bisa membacanya lebih cermat walaupun masih belum mengerti juga. Dalam apendiks buku ini saya membaca bahwa Spencer-Brown berhasil membuktikan keabsahan 24 silogisme Aristoteles . Namun sayang dia hanya menunjukkan pembuktian satu silogisme saja.

Dari egroup ini saya sampai ke website Louis Kauffman yang menulis buku yang mengembangkan aljabar Brownian menjadi aljabar kotak diperluas yang lebih umum sehingga mencakup logika dengan nilai logis lebih luas. Dari buku inilah saya bisa memahami rumus-rumus Spencer-Brown sebagai rumus-rumus logika Boolean. Rahasianya adalah penggunaan KOSONG sebagai simbol ganda: sebagai nilai logis SALAH dan sebagai operasi ATAU. Selanjutnya operasi TIDAK disimbolkan dengan sebuah tanda separuh kotak yang disebutnya "cross" atau palang.

Oleh Kauffman tanda separuh kotak ini diganti dengan sebuah KOTAK utuh. Setelah aljabar Brown ditransformasi Kauffman menjadi aljabar kotak, barulah segalanya menjadi jelas. Yang menarik, Kauffman menunjukkan bahwa aljabar kotak itu sudah terlebih dahulu ditemukan oleh Charles Sanders Peirce sebagai aljabar logika di mana KOSONG adalah tanda buat konstanta BENAR dan operasi DAN. Sedangkan KOTAK dibca sebagai tanda TIDAK.

Dengan tafsir ini rumus-rumus Brown dapat dibaca secara baru yaitu rumus logika dualnya. karena itu KOTAK KOTAK = KOTAK artinya SALAH DAN SALAH = SALAH dan KOTAK dalam KOTAK = KOSONG artinya TIDAK SALAH = BENAR.

Satu lagi hebatnya Kauffman. Kalau Spencer-Brown mereduksi aljabar logika Boole menjadi cukup dengan dua akssioma yang melibatkan satu tanda saja. Suatu prestasi yang patut dipuji. Namun Kauffman mereduksi aljabar Brown menjadi aljabar kotak yang hanya membutuhkan satu aksioma yang ditemukan oleh Edward Huntington di awal abad ke-20.

Dengan demikian seluruh aljabar logika Boole dapat dirumuskan menjadi sebuah aljabar kotak dengan aksioma tunggal. Yang lebih menarik ialah kenyataan bahwa aksioma Huntington itu tak lain tak bukan dari pada perumusan aljabarik prinsip kuno REDUCTIO AD ABSURDUM, yaitu pembuktian kebenaran suatu pernyataan melalui pembuktian bahwa penyangkalan pernyataan itu akan menimbulkan kontradiksi.

Mahasiswi Peirce, Christine Ladd , menggunakan operasi NAND berhasil membuktikan bahwa semua syllogisme absah bisa diturunkan secara aljabar logis dari sebuah rumus yang disebutnya sebagai antilogisme. Dengan susah payah akhirnya saya bisa menterjemahkan rumus-rumusnya yg menggunakan simbol yg non konvensional menjadi rumus-rumus aljabar Boole. Seperti Brown, dia hanya membuktikan beberapa syllogisme absah. Mengikuti algoritmanya akhirnya saya bisa membuktikan 15 jenis syllogisme absah dari 2 buah antilogisme ketika saya berada di London lebih dari setahun lalu dan menulisnya di Facebook notes dan Blog saya.

Alhamdulillah, akhirnya, setelah lama kembali ke tanah air, saya bisa membuktikan sisanya, yaitu ke 9 syllogisme, dari dua buah antilogisme baru. Jadi saya akhirnya bisa membuktikan ke 24 syllogisme absah itu dari 4 antilogisme. Belakangan saya bisa membuktikan bahwa keempat antilogisme itu ekivalen satu sama lainnya. Ini berarti Christine Ladd memang benar, tapi hanya sebagian. Semua syllogisme pada dasarnya ekivalen satu sama lainnya.

Kenyataan ini saya sebut sebagai kesatuan silogisme. Saya mencoba kesatuan silogisme ini tanpa menggunakan konsep antilogisme. Saya membuktikannya dengan menggunakan aljabar kotak dan memaparkannya di blog dan di Facebook. Tapi sayangnya hanya sedikit sekali orang yang bisa memahaminya. Bagaimana pun, saya akan mencoba membuktikannya di internet dengan penemuan saya yang mutakhir: aljabar barang. aljabar kartu adalah contohnya.