Sistem Aritmetika Boole

SISTEM ARITMETIKA LOGIKA BOOLE

Armahedi Mahzar (c) 2015


Dalam blog yang lalu, saya telah menunjukkan bahwa seluruh tautologi atau kebenaran logika, dapat dibuktikan secara aksiomatis dari 1 atau BENAR dengan hanya menggunakan aturan-aturan ilmu hitung saja dan definisi-definisi hubungan logika dengan perjanjian George Boole. Saya sebut saja sistem baru ini sebagai Sistem Aritmetika Boole.

Sistem ini jauh lebih sederhana dari sistem eksistensial graf, temuan Charles Sanders Peirce, yang juga mengambil BENAR sebagai aksioma tunggal, karena sistem ini tidak memerlukan lima kaidah penyimpulan logika seperti yang dibutuhkan oleh sistem graf eksistensial Peirce.

Saya sebenarnya juga telah berhasil menyederhanakan sistem eksistensial graf Peirce dengan cara mengambil KONSISTENSI sebagai aksioma tunggal dan menggunakan satu kaidah penyimpulan saja yaitu ITERASI yang menggabungkan dua kaidah  Peirce: iterasi dan deiterasi.

Dalam sistem iterasi sederhana ini, kaidah-kaidah Peirce yang lain dapat dibuktikan dari aksioma KONSISTENSI sebagai teorema-teorema. Ketika menemukan penyederhanaan itu saya senangnya bukan main. Tetapi kesenangan itu kalah jauh dibandingkan kebahagiaan saya menemukan Sistem Aritmetika Boole yang dibahas di sini.

Berikut ini akan dipaparkan tiga macam proses penyimpulan logis menggunakan Sistem Aritmetika Boole ini yaitu: produksi, reduksi dan deduksi.

 

Sistem Aritmetika Boole

 

Seluruh aljabar Boole dapat diturunkan dari sebuah aksioma tunggal supersederhana dan seperangkat kaidah aritmetika sebagai sarana pembuktian.

Konvensi Notasional Boole

1 adalah notasi untuk BENAR
0 adalah notasi untuk SALAH
1-x adalah notasi untuk TIDAK x
x+y adalah notasi untuk x ATAU y
x-1+y adalah notasi untuk x DAN y
1-x+y adalah notasi untuk JIKA x MAKA y


Aksioma tunggal: BENAR
1

Kaidah aritmetika

K1: x-x = 0
K2: -(x+y)=-x-y
K3: -(-x)=+x

Dengan sistem ini semua tautologi Boole dapat diturunkan dengan tiga cara pembuktian: produksi, reduksi dan deduksi.

Tiga metoda Pembuktian

 

Proses produksi adalah mnunjukkan bahwa aksioma 1 atau BENAR itu ekivalen dengan rumus yang hendak dibuktikan. Proses reduksi membuktikan bahwa rumus yang hendak dibuktikan ekivalen dengan 1 atau BENAR. Proses deduksi menunjukkan bahwa ruas kanan tautologi yang akan dibuktikan memang ekivalen dengan ruas kirinya.

Contoh 1: Bukti Produktif Barbara

1=                           {aksioma}
=1 -1+a-b +1 -1+b-c +1-a+c   {K1}
=1-(1-a+b)+1-(1-b+c)+(1-a+c) {K2, K3}
=1 -Aab +1- Abc +Aac         {definisi}
=1-(Aab-1+Abc) + Aac         {K3}
=JIKA Aab DAN Abc MAKA Aac   {definisi}
=Barbara                     {penamaan}

Jadi Barbara = BENAR

Contoh 2: Bukti Reduktif Celarent

Celarent =
= JIKA (Ebc DAN Aab), MAKA Eac
= 1-(Ebc-1+Aab) + Eac            {definisi}
= 1-(1-b+1-c)+1-(1-a+b)+(1-a+1-c){definisi}
= 1 -1+b-1+c +1 -1+a-b +1-a+1-c  {K2}
= 1                              {K1}
= BENAR                          {konvensi Boole}

Contoh 3: Bukti deduktif Ferio

Ebc DAN Iab =                   {Ruas Kiri}
= 1-b+1-c -1+ a-1+b             {definisi}
= a - c                         {K1}
= Oac                           {definisi}

Kesimpulan

 

1. Sistem Aritmetika Boole adalah sistem aksiomatik logika yang sangat sederhana dengan aksioma tunggal 1 dan kaidah inferensi aritmetik.

2. Ada tiga proses penyimpulan yang dapat dimanfaatkan oleh Sistem Aritmetika Boole untuk membuktikan kebenaran semua tautologi.

3. Yang paling kompleks adalah metoda produktif dan yang paling mudah adalah metoda deduktif.

 

Catatan akhir

 

Aritmetika logika Boole seperti dengan aljabar logika Boole bisa disimulasi dengan permainan logika barang-barang. Barang-barang yang digunakan bisa berupa batang berwarna, gundu berwarna dan sehelai kartu, kartu-kartu Bridge, bidak dan papan catur. Mudah-mudahan saya bisa menunjukkannya pada posting-posting blog berikutnya.