Aritmetika Silogisme Boole

ARITMETIKA SILOGISME BOOLE
Armahedi Mahzar (c) 2014

Perjalanan saya di dunia logika di internet memang mencengangkan, Pertama-tama saya menemukan bahwa aljabar Boole   bisa dirumuskan sebagai sistem aljabar dengan dua aksioma George Spencer-Brown  jika simbolnya 2 dimensi. Lalu menemukan bahwa kedua aksioma itu bisa direduksi jadi satu dalam perumusan 2D aljabar kotak Louis Kauffman . Kemudian saya menemukan bahwa formulasi simbol 2d eksistensial graf Charles Sanders Peirce  yang hanya membutuhkan satu aksioma sederhana yaitu BENAR yang dilambangkan dengan KOSONG. Namun sayang kaidah inferensinya cukup banyak yaitu lima.

Akhirnya, tahun lalu, saya bisa mengganti aksioma Peirce dengan aksioma tunggal KONSISTENSI x->x yang hanya membutuhkan satu kaidah inferensi ITERASI xy'=x(xy)'. Dengan sistem-sistem aksioma itu saya berhasil membuktikan keabsahan 24 macam silogisme Leibnitz   yang menyempurnakan 15 macam silogisme absah Aristoteles .

Akan tetapi bulan lalu di awal tahun 2014 ini saya menemukan bahwa tanpa aksiomatika dengan algoritma substitusi aljabar Boole saja kita dapat menggunakan simbolisasi 1d Boole untuk membuktikan ke 24 silogisme absah Leibnitz dengan cara yang sangat mudah. Bukan main gembiranya saya ketika menemukan metoda itu, karena tak perlu menggambar lagi seperti yang dibutuhkan sistem 2D dari Peirce hingga Kauffman.

Yang mengejutkan adalah penemuan saya yang paling mutakhir, yaitu tadi malam. Saya menemukan jika kita menuliskan kedua premis silogisme absah dalam simbolisme aljabar Boole dan menggabungkannya dengan operasi DAN, maka dengan mudahnya kita memperoleh kesimpulannya dengan hanya menggunakan metoda aritmetika tanpa substitusi aljabar. Bahkan yang lebih mengejutkan ini bisa dilakukan tanpa perlu tahu representasi biner untuk aljabar.

Tentu saja saya heran mengapa George Boole tidak menemukan metoda sederhana ini. Setelah saya perhatikan, ternyata Boole terobsesi untuk menyatakan setiap premis dan konklusi silogisme sebagai sebuah persamaan aljabar. Dengan demikian yang diperlukan adalah metode eliminasi variabel perantara. Padahal kalau kita gunakan representasi dalam bentuk rumus fungsi aritmetis dua variabel, maka segalanya menjadi mudah di mana eliminasi variabel penengah berjalan secara otomatis.

Aljabar Boole

Untuk mudahnya, operasi DAN kita definiskan melalui operasi ATAU dan TIDAK. Dalam simbolisasi Boole. x ATAU y ditulis sebagai x+y dan TIDAK x dituliskan sebagai 1-x. Karena itu x DAN y kita definisikan sebagai TIDAK(TIDAK x ATAU TIDAK y) atau 1-(1-x+1-y) yaitu x -1+ y. Jadi ATAU disimbolkan oleh + dan DAN disimbolkan oleh -1+. Mudah sekali bukan?

Pernyataan kategoris Aristoteles

Sekarang kita bisa merumuskan pernyataan-pernyataan kategoris Aristoteles dengan simbolisme Boole tanpa menggunakan tanda = dalam aljabar. Pernyataan partikular positif ADA x YANG y ditumuskan sebaga x DAN y yaitu x-1+ y.
Pernyataan universal negatif SEMUA x ITU TIDAK y itu ekivalen dengan TIDAK ADA x YANG y atau TIDAK(x DAN y) yaitu 1-(x-1+y) = 1-x+1-y . Pernyataan universal positif SEMUA x ITU y tentunya sama dengan TIDAK(ADA x yang TIDAK y yaitu 1-(x-1+1-y) = 1-x+y. Pernyataan partikular negatif ADA x YANG TIDAK y rumusnya adalah x-1+1-y = x-y.

Ringkasnya: Pernyataan kategoris
Axy = SEMUA x ITU y = 1-x+y
Exy = TIADA x YANG y = 1-x+1-y
Ixy = ADA x YANG y = x+y-1
Oxy = ADA x YANG TIDAK y = x-y

Pembuktian Silogisme

Nah sekarang kita cari Ayz DAN Axy = ?
Ayz DAN Axy = 1-y+z -1+ 1-x+y = 1-x+z = Axz
Ini adalah Silogisme JIKA Ayz DAN Axy MAKA Axz yang dinamakan oleh logikawan abad pertengahan sebagai Barbara

Nah, sekarang kita buktikan Celarent yaitu JIKA Eyz DAN Axy MAKA Exz.
Eyz DAN Axy = 1-y+1-z -1+ 1-x+y=1-x+1-z=Exz
terbukti bukan?

Buktikan juga DARII yaitu JIKA Ayz DAN Ixy MAKA Ixz.
Buktinya:
Ayz DAN Ixy = 1-y+z -1+ x+y-1=x+z-1=Ixz
Mudah bukan?

Sekarang buktikan Ferio yaitu JIKA Eyz DAN Ixy, MAKA Oxz.
Buktinya:
Eyz DAN Ixy = 1-y+1-z -1+ x+y-1 = x-z = Oxy

Secara lengkap pembuktian untuk semua silogisme absah tanpa asumsi eksistensial dapat dilihat dalam tabel berikut

Silogisme eksistensial

Silogisme dengan impor eksistensial (atau asumsi eksitensi) seperti Barbari juga bisa dibuktikan. Asumsi eksitensi x dinyatakan dengan ADA x YANG x atau Ixx Barbari itu adalah JIKA Ayz DAN Axy DAN Ixx, MAKA Ixz.
Buktinya:
Ayz DAN Axy DAN Ixx = 1-y+z-1+1-x+y-1+x+x-1=x+z-1=Ixz
Silogisme eksistensial yang lain Celaront yaitu JIKA Eyz DAN Axy DAN Ixx, MAKA Oxz juga bisa dibuktikan.
Buktinya:
Eyz DAN Axy DAN Ixx = 1-y+1-z-1+1-x+z-1+x+x-1=x-z = Oxz

Pembuktian keseluruhan silogisme eksistensial dapat dilihat pada tabel berikut

Penutup

Silogisme-silogisme lain bisa dibuktikan dari empat silogisme Barbara, Barbari, Celarent dan Celaront dengan memindahkan posisi-posisi variabel dalam persamaan silogisme yang sudah dibuktikan itu. Dengan demikian ke 24 macam silogisme Leibnitz  bisa dibuktikan sebagai absah.

Pelajaran berharga yang didapat dari temuan ini: silogisme itu dua arah, bukan hanya implikatif tetapi sebuah ekivalensi. Soalnya, dari pembuktian diatas dapat ditunjukkan bahwa silogisme JIKA p DAN q, MAKA r itu sama dengan p-1+q = r atau p DAN q JIKA DAN HANYA JIKA r. Sangat mengherankan nyatanya Aristoteles dan Boole tidak mengetahui hal ini

Penemuan aritmetika lebih lanjut ada di http://integralist.blogspot.com/2014/09/aritmetika-silogisme-peirce-armahedi.html