Saya, Logika dan Internet 3

Saya, Logika dan Internet
Bagian Tiga

Armahedi Mahzar (c) 2013

Melanjutkan kisah perjalanan saya di dunia logika dengan wahana mayantara.

Pada blog yang lalu saya bercerita bahwa semua itu bermula dari pertemuan saya di mayantara dengan aljabar Brown

dari dalam buku Laws of Form yang samar itu.

Di mayantara itu juga saya menemukan aljabar Kotak Kauffman yang mengganti SILANG dalam aljabar Brown dengan KOTAK. Dalam notasi kotak itu, kedua aksioma aljabar Brown adalah

+----+

|+-+ |

||p|p| =

|+-+ |

+----+  

+---------+   +-------+

|+--+ +--+|   |+-+ +-+|

||pr| |qr|| = ||p| |q|| r

|+--+ +--+|   |+-+ +-+|

+---------+   +-------+

Ketika saya mengganti huruf-huruf di aljabar kotak Kauffman dengan bola-bola warna-warni




, 
maka sampailah saya pada sebuah permainan hapus-hapusan kotak warna yang isomorfik dengan aljabar logika Boole. Yang tak saya duga adalah kenyataan bahwa dengan permainan hapus-hapusan kotak warna yang kekanak-kanakan itulah saya bisa menemukan sejumlah fakta logika yang sebelumnya belum pernah ditemukan orang.

PENEMUAN PERTAMA:
aksioma REDUCTIO AD ABSURDUM

Logika Brown yang isomorfik dengan aljabar Boole itu ternyata disederhanakan menjadi aljabar Kauffman dengan satu aksioma saja, yaitu aksioma Huntington [[a][b]][[a]b]=a yang dalam notasi aljabar kotak adalah

Sebenarnya, tak ada yang original dari penemuan Kauffman ini. Soalnya, Huntington jauh-jauh hari telah menemukan bahwa aljabar Boole dapat diturunkan dari ketiga aksiomanya yaitu Komutativitas, Asosiativitas dan aksioma yang dijadikan aksioma tunggal oleh Kauffman itu. Kauffman bisa menghilangkan kedua aksioma Huntington yang lain karena penggunaan notasi kotak berdimensi dua itu komutativitas dan asosiativitas merupakan kenyataan visual yang tak perlu dinyatakan secara simbolik.

Namun, apakah sebenarnya aksioma Huntington itu? Setelah saya amati dengan cermat, jika kita menafsirkan

   pendampingan dua gambar sebagai operasi DAN dan

   menafsirkan KOSONG sebagai BENAR,

maka rumus Huntington itu tak lain dari rumus Boole

(a'->b')(a'->b) = a

bagi sebuah prinsip logika yang sangat kuno, mendahului Aristoteles, yang dikenal sebagai prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM.

Prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM mengatakan bahwa

  sebuah pernyataan itu benar

 jika dan hanya jika

 penyangkalannya menyimpulkan suatu yang kontradiktif atau SALAH.

Melihat hal itu tentu saja mencengangkan saya: ternyata logika modern yang matematis itu landasan terdasarnya adalah prinsip kuno yang mendahului logika tradisional Aristoteles.

PENEMUAN KEDUA:
PEMBUKTIAN KONJEKTUR ROBBINS

Penemuan lain yang menakjubkan saya adalah kenyataan bahwa dengan aljabar kotak kita bisa membuktikan aksioma Robbins dengan sangat singkat. Robbins, mahasiswa Huntington, menyatakan bahwa aksioma Huntington itu sebaiknya diganti dengan rumus Boolean yang lebih sederhana yang kemudian disebut sebagai rumus Robbins.

[[a[b]][ab]] = a

Tetapi sayangnya, Robbins tidak bisa membuktikan bahwa memang seluruh aljabar Boole bisa diturunkan dari rumusnya beserta aksioma komutasi dan aksioma asosiasi. Berpuluh tahun matematikawan mencoba membuktikan kebenaran konjektur atau dugaan Robbins itu, namun gagal semua. Baru pada awal milenium ketiga ini William Mccune dengan bantuan program komputer ... bisa membuktikannya dengan menggunakan waktu mesin komputer selama lima hari.

Kauffman sendiri dengan menggunakan aljabar kotak bisa mereduksi pembuktian komputer yang sangat panjang itu menjadi pembuktian 14 buah lemma atau dalil bantu.

Saya tidak menyangka bahwa saya, menggunakan aljabar kotak, bisa menurunkan aksioma Huntington dari rumus Robbins dengan menggunakan sifat dualitas aljabar Boole hanya dalam  3 langkah.

[[a[b]][ab]]=a

Langkah 1: negasikan kedua ruas x=y -> [x]=[y]

[[[a[b]][ab]]]=[a]

Langkah 2: hapus negasi ganda karena [[x]]=x

  [a[b]][ab]  =[a]

Langkah 3: ganti [a] dengan A, sebaliknya a dengan [A] dan b dengan B

[[A][B]][[A]B]= A

yang tak lain dari pada Aksioma Huntington itu sendiri

Ajaib. Namun sebenarnya saya telah menggunakan dua identitas Boole yang belum dibuktikan sebagai kaidah inferensi.Bagi banyak orang ini mungkin sebuah penyelundupan yang ilegal, namun bagi saya ini bukannya sebuah kesalahan, tetapi keunggulan manusia untuk memilih kaidah inferensi yang tepat. Misalnya Charles Sanders Peirce mempunyai lima kaidah inferensi fundamental..

Bagaimana pun, yang lebih mengherankan saya adalah kenyataan bahwa aksioma Robbins itu pun tak lain tak bukan daripada prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM juga jika rumusnya dibaca dengan penafsiran Brown tentang aljabar kotak, dimana

  pendampingan dibaca sebagai ATAU dan

  KOSONG dibaca sebagai SALAH.

Bagi saya penemuan ini memperkuat ketercengangan saya ketika mengetahui bahwa prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM adalah fondasi aljabar logika modern Boole.

PENEMUAN KETIGA:
KESATUAN SEMUA SILOGISME

Dengan bermain kotak logika berwarna ini, akhirnya saya menemukan bahwa semua silogisme absah Aristoteles Leibnitz itu, sebenarnya, adalah satu adanya. Asalnya, saya membaca di internet bahwa Christine Ladd-Franklin menemukan satu rumus antilogisme yang bisa menurunkan semua silogisme absah yang menurut Leibnitz ada 24. Untuk membuktikan kebenaran dalil Ladd-Franklin itu saya mengubah formula antilogisme itu dalam gambar aljabar kotak yang dengan aturan hapus-hapusan menghasilkan satu kotak kosong. Ini artinya kedua alasan satu silogisme jika digabungkan dengan penyangkalan kesimpulannya adalah kontradiktif alas SALAH.

Sayangnya pada mulanya saya hanya menemukan dua buah antilogisme 

     Ebc Aab Iac

     Abc Aab Oac

yang bisa menurunkan hanya 15 buah silogisme absah.

Namun belakangan saya dapat menemukan dua lagi antilogisme yaitu

     Eaa Ebc Aab Aac
     Ebb Abc Aab Eac

yang bisa menurunkan 9 buah silogisme sisanya.

Untunglah, pada akhirnya saya bisa membuktikan bahwa keempat antilogisme itu ekivalen satu sama lainnya.

Dengan demikian dalil Ladd-Franklin itu terbukti kebenarannya.

Namun, sebagai dampak sampingan, justru ada dalil lebih umum yang saya temukan:

    semua silogisme itu ekivalen satu sama lainnya.

Jadi setiap silogisme absah sebenarnya, bukan hanya bisa diturunkan bukan hanya dari sebuah antilogisme, tetapi dari silogisme absah yang mana pun.

PENEMUAN KEEMPAT:
SISTEM GRAF EKSISTENSIAL SEDERHANA

Namun perjalanan selanjutnya di Internet, saya menemukan suatu sistem logika simbolik yang lebih sederhana dari aljabar Brown yaitu sistem graf eksistensial dari Charles Sanders Peirce yang hanya mengenal aksioma tunggal yaitu KOSONG. Namun sayangnya sistem Peirce itu memerlukan lima kaidah inferensi.

Jadi sistem Graf Eksistensial Peirce terdiri dari

satu aksioma

   kebenaran   : KOSONG

dan lima kaidah inferensi

   Delesi      : pq -> p 

   Insersi     : [p] -> [pq]

   Iterasi     : p[q] -> p[pq]

   Deiterasi   : p[pq] -> p[q]

   Negasi ganda: [[p]] = p

Rupanya Peirce menyembunyikan rumus-rumus implikatif Boole ke dalam kaidah-kaidah inferensi.

Tentu saja, saya agak kecewa melihat kenyataan ini. Namun, alhamdulillah, saya akhirnya menemukan bahwa kita dapat mermbuang empat kaidah inferensi itu menjadi satu saja yaitu ITERASI p[q]->p[pq], jika saja kita mau mengganti aksioma tunggal Peirce itu dengan sebuah aksioma baru yaitu KONSISTENSI p->p.

Dengan demikian seluruh aljabar Boole dapat diturunkan dari sistem graf eksistensial sederhana

M0 aksioma KONSISTENSI:   p -> p

M1 Kaidah  ITERASI    : p[q]= p[pq]

Tentu saja penemuan ini sangat membahagiakan saya. Soalnya, pada akhirnya saya menemukan bahwa semua isi alam logika sebenarnya berdasarkan satu asas saja yaitu konsistensi.

Setelah saya perhatikan dengan teliti ternyata bahwa aksioma konsistensi p->p bagi sistem graf eksistensial sebenarnya dapat diganti dengan dengan aksioma yang lebih sederhana yaitu INDIFERENSI  p->BENAR atau [p[ ]] . Dengan demikian sistem graf eksistensial yang paling sederhana adalah

M0 aksioma INDIFERENSI:     p -> 1 

M1 kaidah ITERASI     :  p[q] = p[pq].

CATATAN AKHIR

Kalau diperhatikan keempat penemuan itu sebenarnya sebuah perjalanan menuju proses penyederhanaan sistem aksiomatika logika. Ini adalah dimensi abstrak perjalanan logika saya. Sisi lain perjalanan saya yang lain adalah perjalanan menuju penyederhanaan notasi logika dari yang literal menuju yang obyektif konkret, dari aljabar logika abstrak menuju permainan logika kongkret. Bagaimana hasil pencarian saya akan permainan logika tersederhana itulah yang akan saya ceritakan pada blog lainnya lagi.

Saya, Logika & Internet 2

Saya, Logika & Internet
bagian dua

Armahedi Mahzar (c) 2013

Apa itu logika? Ketika saya SMP, saya sering diketawai om saya, karena katanya saya tidak logis. Tentu saja itu saya penasaran, sebab saya saya tak pernah diajarkan logika di sekolah sebagai mata pelajaran  ataupun sebagai bahan pelajaran. Di sekolah rakyat (SD sekarang), saya cuma belajar berhitung. Saya tak tahu bahwa di dalamnya kita diajari logika secara tak langsung. Di SMP, saya diajari aljabar dan ilmu ukur bidang (planimetri) yang sebenarnya juga menggunakan logika. Di SMA, (SMU sekarang) saya diajari trigonometri dan ilmu ukur ruang (stereometri) dan ilmu ukur lukis. Semua yang saya sebut itu adalah cabang-cabang dari matematika. Logika adalah alat pokok dari matematika. Yah cuma alat.

Tapi ketika SMA di Jakarta, saya tidur sekamar dengan om saya yang kuliah di fakultas hukum. Bukunya aneh-aneh buat saya yang baru lulus SMP. Salah satu buku aneh adalah Filsafat Dewasa

Ini karangan Beerling yang bicara tentang filsafat barat mutakhir zaman itu dari vitalisme hingga eksistensialisme dari fenomenologi hingga filsafat analitis. Untungnya tante saya yang jebolan fakultas kedokteran punya buku pengantar Filsafat karangan Takdir Alisyahbana dan pengantar ke pemikiran Yunani karangan Mohammad Hatta. Dari buku-buku itu saya tahu bahwa logika adalah cabang dari ilmu filsafat disamping etika dan estetika.

Belajar Dasar-dasar Logika

Di perguruan tinggi, saya belajar tentang etika Islam, tapi tidak tentang estetika atau pun logika. Karena saya kuliah di jurusan fisika, maka saya menganggap bahwa matematika adalah alat bantu bagi fisika sebagai cabang sains. Maka saya pun memandang rendah matematika sebagai alat untuk melukiskan keteraturan-keteraturan saja. Belakangan saya tahu bahwa logika untuk sementara orang adalah dasar terdasar dari ilmu hitung yang merupakan dasar bagi aljabar dan kalkulus yaitu alat matematika bagi ilmu fisika. Namun di ITB saya tahu ada jurusan matematika yang mempelajari aljabar abstrak dan topologi yang tak pernah saya kenal di SMA.

Oleh karena itu, matematika ternyata lebih luas dari kalkulus, matematika tertinggi, yang digunakan sebagai alat dalam fisika klasik yaitu fisika yang dipelajari oleh mahasiswa mesin, elektro dan sipil. Untungnya saya juga belajar teori kemungkinan dari jurusan matematika sebagai mata kuliah pilihan wajib di jurusan fisika. Dari kuliah ini saya belajar teori himpunan yang aljabarnya mengikuti hukum-hukum aritmetika yang berbeda dengan aljabar angka-angka. Aritmetika itu adalah aritmetika Boole yang hukum-hukumnya serupa tapi tak sama dengan aritmetika angka-angka. Belakangan setelah jadi sarjana saya belajar aljabar Boole juga berlaku untuk logika dan bermanfaat bagi ilmu komputer.

Namun saya tidak pernah belajar aljabar logika Boole di jurusan Fisika. Saya hanya belajar aljabar abstrak terapan yang berguna bagi ilmu fisika kuantum. Salah satu aljabar abstrak itu adalah teori grup yang mempelajari transformasi-transformasi yang memelihara sifat-sifat atau struktur tertentu dalam suatu sistem fisika. Sifat-sifat yang terpelihara oleh suatu grup transformasi disebut sebagai sifat simetri. Ternyata semua hukum-hukum fundamental fisika mempunyai sifat yang sama, yaitu sifat simetri terhadap transformasi sistem koordinat ruang dan waktu. Sedangkan gaya-gaya fundamental antara bagian terkecil materi juga mempunyai sifat simetri: yaitu terhadap pertukaran muatan-muatan sumber gaya.

Setelah lulus sarjana saya belajar komputer yang bekerjanya berdasarkan aritmetika Boolean dua nilai dan aritmetika numerik berbasis dua. Ada satu hal yang menarik dalam aljabar Boole ini secara simetri. Dia mempunyai sifat yang disebut sebagai dualitas.

Jika semua variabelnya diganti dengan negasinya,

    semua konstannya dibalik nilainya,

    semua + diganti dengan x dan

    semua x diganti dengan +,

maka semua rumus aljabar nilainya tetap sama. Kenyataan ini menarik karena mengingatkan saya

akan simetri partikel dan anti-partikel dalam fisika. Rupanya alam materi dan alam ide mempunyai sifat simetri yang sama.

PENEMUAN-PENEMUAN LOGIKA

Pensiun jadi pegawai negeri saya memperoleh kesempatan mengarungi dunia maya dan di sana lah saya bertemu dengan profesor Google dan sebuah perpustakaan bernama Wikipedia. Di universitas

mayantara saya ikut kelas maya berupa milis Laws of Form yang mendiskusikan buku Laws of Form

yang pernah saya baca ketika baru lulus dari ITB di perpustakaan British Library. Buku itu menarik perhatian saya karena mengutip Tao Te Ching, buku kesayangan saya di kala masih SMA. Saya tak pernah membayangkan bahwa Tao Te Ching merupakan basis dari matematika logika. Saya justru memahaminya sebagai puisi intuitif sebagai komplemen matematika logis.

George Spencer-Brown , penulis buku Laws of Form, justru menyatakan bahwa pasangan Yin dan Yang dalam Taoisme adalah simbol bagi BENAR dan SALAH dalam logika Aristoteles atau 1 dan 0 dalam aljabar Boole. Anehnya George Spencer-Brown, pengarang buku Laws of Form meggunakan simbol BUMERANG yang disebutnya PALANG atau CROSS dan KOSONG atau VOID, ketiadaan simbol, sebagai simbol-simbol matematika. Dengan simbol-simbol baru itu dia merekonstruksi aljabar Boole sebagai aljabar primer yang berbasiskan dua aksioma saja. Rumus-rumus bentuknya sangat aneh dan diberi nama-nama aneh: posisi dan transposisi.

Saya baru bisa memahami rumus-rumus Laws of Form setelah membaca keterangan Louis Kauffman yang menjelaskan makna ganda simbol-simbol Laws of Form. CROSS yang simbol konstanta 1 juga berarti NOT sebagai operasi, begitu juga KOSONG yang merupakan simbol bagi konstanta 0 juga berarti operasi OR atau +. Jika kita melukiskan hukum-hukum logika Boole dalam simbol-simbol laws of form bentuknya menjadi aneh karena menggunakan KOSONG sebagai simbol. Sebaliknya jika aksioma-aksioma itu diterjemahkan sebagai simbol aljabar Boole, maka rumus posisi itu tak lain tak bukan dari pada hukum KONTRADIKSI sedangkan hukum transposisi itu tak lain dari hukum DISTRIBUSI + atas x.

Sangat menarik, karena seluruh aljabar logika Boole dapat diturunkan dari dua rumus Boole yaitu kontradiksi dan distribusi. Bagi saya ini mencengangkan karena Bertrand Russell dan Afred North Whitehead, dalam bukunya Principa Mathematica, menunjukkan bahwa seluruh logika simbolik dapat diturunkan dari lima aksioma saja. Saya pikir Spencer-Brown sangat hebat karena bisa mengurangi aksioma Principia lebih dari separuhnya. Namun yang paling hebat adalah Louis Kauffman bisa mereduksi dua aksioma aljabar logika LoF menjadi hanya satu saja yaitu aksioma Huntington,

  

mengingat aljabar Spencer-Brown bermain dengan simbol-simbol dua dimensi dalam bidang.

Ketercengangan ini menjadi kekaguman setelah mengetahui bahwa aksioma Hutington itu tak lain daripada prinsip Contradictio and Absurdum, sebuah prinsip logika pra-Aristoteles, dalam bentuk rumus aljabar. Jadi sangat ajaib, karena seluruh hukum aljabar Boole logika modern ternyata dapat diturunkan dari satu prinsip logika yang sangat kuno. Oleh karena itu, saya meneruskan studi logika saya dengan memeriksa logika aristoteles dengan menggunakan aljabar kotak Louis Kauffman. Yang mengejutkan dengan metoda analisis simetri silogisme dengan menggunakan aljabar kotak Kauffman saya menemukan bahwa  sebenarnya semua silogisme yang absah itu ekivalen satu sama lainnya.

Ini sebenarnya konsisten dengan dalil Christine Ladd-Franklin   yang mengatakan bahwa semua silogisme absah dapat diturunkan dari satu rumus saja yang disebutnya sebagai antilogisme

. 

Rumus antilogisme Ladd-Franklin ini sebenarnya juga dapat diturunkan sebagai sebuah dalil  

 

dari aljabar kotak Kauffman. Yang mencengangkan saya, ternyata guru Ladd-Franklin, yaitu bapak pragmatisme Charles Sanders Peirce , ternyata telah mengembangkan sistem logika dengan diagram-diagram yang mirip dengan aljabar primer ciptaan George Spencer-Brown, tapi diturunkan dari satu aksioma saja yaitu KOSONG yang dalam interpretasi dia adalah simbol bagi konstanta BENAR dan operasi DAN.

Dengan sendirinya, aksioma Huntington, atau prinsip Contradictio Ad Absurdum, sebenarnya dapat juga dibuktikan sebagai dalil dalam sistem diagram logika Peirce yang disebut sebagai sistem graf eksistensial. Walaupun begitu saya agak kecewa karena sistem graf eksistensial yang ternyata adalah dual dari aljabar primer Brown mempunyai lima buah kaidah inferensi yang tidak diturunkan dari mana-mana. Oleh karena itu, saya mencari sistem graf eksistensial yang lebih sederhana. Alhamdulillah, akhirnya saya menemukannya dengan mengganti aksioma KOSONG Peirce dengan aksioma KONSISTENSI (p->p) dan membuang empat kadidah inferensi Peirce dan menyisakan satu kaidah inferensi saja yaitu ITERASI (p[q] = p[pq]).

Inilah temuan-temuan saya di dalam eksplorasi dunia Platonik rumus-rumsus aljabar Boole

1. Semua rumus tautologis aljabar Boole dapat diturunkan dari satu aksioma yaitu prinsip Contradictio Ad Absurdum
2. Semua rumus silogisme absah Aristoteles dapat diturunkan dari satu rumus Boolean yaitu antilogisme Ladd-Franklin
3. Rumus prinsip Contradictio Ad Absurdum dan rumus antilogisme dapat diturunkan dari satu aksioma KOSONG dalam sistem graf eksistensial Charles Sanders Peirce yang mempunyai lima kaidah inferensi
4. Sistem Graf Eksistensial Peirce bisa disederhanakan menjadi sistem dengan satu aksioma KONSISTENSI dan hanya satu kaidah inferensi yaitu ITERASI.