Aritmetika Silogisme Peirce

Aritmetika Silogisme Peirce

Armahedi Mahzar (c) 2014

Charles Sanders Peirce

Pada blog yang lalu , saya telah melaporkan bahwa dengan aritmetika Boole kita bisa secara mudah mencari kesimpulan suatu silogisme absah. Memang mengherankan mengapa George Boole, seorang matematikawan di abad ke 19 itu, tidak mengetahui bagaimana aritmetikanya bisa memecahkan silogisme secara langsung, tanpa melakukan eliminasi variabel seperti yang saya laporkan pada blog tahun sebelumnya.

Namun, saya menemukan bahwa aritmetika logika bukan hanya diajukan oleh Boole, pada abad yang sama di Inggris, Charles Sanders Peirce seorang matematikawan Amerika, yang mengembangkan sistem graf eksistensial secara grafis mirip dengan metoda yang dikembangkan oleh George Spencer-Brown di abad ke-20. Jika diterjemahkan secara simbolik, maka aljabar graf eksistensial itu berbasis aritmetika logis di mana a DAN b disimbolkan dengan ab, BENAR disimbolkan dengan 0 dan SALAH disimbolkan dengan 1.

Nah, dalam aritmetika Peirce ini TIDAK a disimbolkan dengan 1/a, karena hukum kontradiksi mengatakan bahwa a DAN TIDAK a = SALAH atau a 1/a = 1. Jadi, dalam sistem aritmetika logika ini JIKA a MAKA b atau TIDAK a ATAU b
= TIDAK(TIDAK TIDAK a DAN TIDAK b)
= 1/(a 1/b)
= b/a.

Pernyataan Kategoris Aristoteles

Selanjutnya, keempat penyataan kategoris fundamental Aristoteles dapat dinyatakan sebagai berikut.

Aab = "semua a adalah b" = 'jika a maka b" = b/a

Eab = "semua a tidak b" = b/(1/a) = ab

Iab = "ada a yang b" = TIDAK Eab = 1/ab

Oab = "ada a yang tidak b" = TIDAK Aab = 1/(b/a) = a/b

Aritmetika Silogisme

Ternyata dengan menggunakan aritmetika perkalian logika ini, kita juga dapat menghitung kesimpulan silogisme Aristoteles ini secara langsung pula seperti dengan menggunakan aritmetika Boole.

Misalnya, untuk mencari kesimpulan silogisme Barbara kita cukup mengalikan rumus untuk Abc = c/b dengan rumus Aab = b/a. Hasilnya tentu saja adalah c/a yang merupakan rumus untuk Aac. Jadi Abc Aab = Aac. Dengan demikian Abc Aab -> Aac

Pembuktian keabsahan Celarent caranya sama
Eab Abc = ab c/b = ac = Eac.

Begitu juga pembuktian Darii
Aab Ibc = b/a 1/bc = 1/ac = Iac

dan pembuktian Ferio
Eab Ibc = ab 1/bc = a/c = Oac

Dengan cara yang sama, kita bisa membuktikan semua (24) silogisme absah dalam tabel Leibniz berikut

Ketika menemukan metoda aritmetika di atas saya sangatlah heran, karena apa yang diimpikan oleh Leibniz di abad ke-17 untuk mencari metoda matematika dalam menalar logika yaitu calculus ratiocinator ternyata ditemukan oleh Boole dan Peirce di abad ke-19. Ajaibnya, metoda itu sangat sederhana. Murid SMP pun bisa melakukannya. :)

Catatan Akhir

(1) Herannya, kedua logikawan itu tidak menyadari hal itu. Bahkan para matematikawan sesudah mereka juga tidak menyadarinya. Untungnya, di abad ke-20 seorang logikawan Amerika menemukan aritmetika logika alternatif  lain lagi yaitu Aritmetika Sommers. Namun itu akan kita bicarakan dalam blog berikutnya.

(2) Sommers sendiri menemukan rumus-rumus pecahan Peirce tersebut di atas secara independen di Tel Aviv pada tahun 1967. Ini diceritakannya dalam bab 1 buku New Old Logic. Karena keterbatasan mtoda pecahan ini, dia mengembangkan metoda tambah kurang yang akan dibahas dalam blog berikutnya.
 .