Kalkulus Elektif Boole

KALKULUS ELEKTIF BOOLE

Armahedi Mahzar © 2013

Sampai kemarin, saya mengira metoda Graf Eksistensial Charles Sanders Peirce 

dan aljabar bentuk dari George Spencer-Brown adalah cara termudah untuk membuktikan keabsahan sebuah silogisme kategoris. Bahkan, saya telah menjadi sangat berbahagia ketika akhirnya bisa menyederhanakan metoda graf eksistensial. Namun, ternyata perkiraan itu sama sekali salah. Metoda aljabar yang ditemukan George Boole , sang penemu aljabar logika di abad ke-19 yang lalu, sebenarnya adalah metoda yang paling mudah.

Metoda ini sangatlah mudah, karena sama sekali tidak aksiomatik, tetapi hanya bersifat algoritmis. Begitulah yang saya temukan pada ujung perjalanan saya  di Internet dalam mempelajari ilmu logika. Di tahun 1848, George Boole menulis sebuah risalah tentang logika berjudul "The Calculus of Logic" dalam Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Vol. III, pp.183-98. Dalam artikel ilmiah ini, dia mengajukan sebuah perumusan aljabar simbolik bagi logika. Aljabar itu disebutnya sebagai kalkulus elektif.

Dengan aljabar simbolik ini, George Boole akhirnya bisa menuliskan keempat pernyataan kategoris fundamental Aristoteles menjadi persamaan-persamaan aljabar. Bahkan, dia menambahkan empat macam lagi pernyataan kategoris indefinit dengan subyek negatif seperti yang diperkenalkan oleh August de Morgan sebelumnya. Sayangnya, kedua mereka ini tidakkah mengetahui bahwa kedelapan pernyataan kategoris fundamental tersebut sebenarnya sudah dikenal oleh Ibnu Sina beberapa abad sebelumnya.

Reformulasi Penyataan Kategoris

Dengan cara simbolisasi matematika ini, menurut Boole, semua penalaran silogistik Aristoteles dapat dinyatakan sebagai proses eliminasi variabel yang melambangkan suku-suku dalam pernyataan-pernyataan kategoris. Kedelapan pernyataan kategoris itu adalah

  semua x itu y                  disingkat sebagai Axy

  semua x itu tidak y            disingkat sebagai Exy

  beberapa x itu y               disingkat sebagai Ixy

  beberapa x itu tidak y         disingkat sebagai Oxy

  semua bukan x itu y            disingkat sebagai A'xy

  semua bukan x itu tidak y      disingkat sebagai E'xy

  beberapa bukan x itu y         disingkat sebagai I'xy

  beberapa bukan x itu tidak y   disingkat sebagai O'xy

Oleh George Boole,

  Axy dinyatakan sebagai            x = v y

  Exy dinyatakan sebagai            x = v (1-y)

  Ixy dinyatakan sebagai          v x = w y

  Oxy dinyatakan sebagai          v x = w (1-y)

  A'xy dinyatakan sebagai         1-x = v y

  E'xy dinyatakan sebagai         1-x = v (1-y)

  I'xy dinyatakan sebagai     v (1-x) = w y

  O'xy dinyatakan sebagai     v (1-x) = w (1-y)

di mana perkalian a b itu melambangkan pernyataan logika a DAN b dan (1-a) melambangkan pernyataan logika TIDAK a.

Pembuktian Keabsahan Silogisme

Dengan representasi matematik ini, keabsahan pola silogisme KARENA Amp DAN Asm MAKA Asp dapat dibuktikan dengan sangat mudahnya sebagai berikut:

Kedua alasannya, yaitu

    Amp yang menyatakan semua m itu p

dan
   
    Asm yang menyatakan semua s itu m

dapat dituliskan sebagai

   
    m = v p

dan
    s = w m.

Selanjutnya kita coba mencari kesimpulannya.

Dengan cara mengeliminasi m dari kedua persamaan itu,

kita akan memperoleh persamaan

    s = wv p.

Karena wv bisa diganti dengan u, maka persamaan ini bisa

dituliskan sebagai

    s = up

yang bisa dibaca sebagai

    semua s itu p

atau

    Asp.

Jadi, terbuktilah bahwa KARENA Amp DAN Asm MAKA Asp, yaitu silogisme yang dinamakan oleh logikawan abad pertengahan sebagai Barbara, itu adalah sebuah silogisme yang absah.

Sebagai contoh lain, akan dibuktikan bahwa KARENA Emp DAN Asm MAKA Esp adalah absah. Buktinya begini:

Alasan pertama

   

    Emp persamaannya adalah m = v(1-p),

sedangkan persamaan untuk alasan kedua

    Asm adalah s = wm.

Mengeliminasi m dari kedua persamaan itu kita dapatkan

s = wv(1-p) atau s = u(1-p) yaitu persamaan untuk Esp.

Jadi KARENA Emp DAN Asm MAKA Esp,

yaitu silogisme yang dinamakan oleh logikawan abad

pertengahan sebagai Celarent, itu adalah sebuah silogisme

yang absah.

Dengan cara yang serupa emua silogisme yang namanya

mengandung huruf A dan O, yang mengandung huruf A dan E

yang mengandung A dan I serta yang mengandung E,I dan O

semuanya dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.

Keseluruhannya ada 15 buah silogisme.

Silogisme Eksistensial

Leibnitz , sang penemu kalkulus diferensial, menemukan bahwa keseluruhan ragan silogisme yang absah itu ada 24. Jadi, masih ada 9 lagi ragam silogisme yang harus dibuktikan keabsahannya. Misalnya, benarkah Barbari itu absah? Jawabnya: memang benar, jika kita mengasumsikan bahwa subyek pada kesimpulannya, sesungguhnya, memanglah ada.

Asumsi eksistensi sebuah pengertian a itu ada itu dinyatakan oleh Iaa. Oleh karena itu, Barbari, yaitu KARENA Amp DAN Asm MAKA Isp sebenarnya mengandung asumsi Iss. Jadi perumusan Barbari sebenarnya adalah KARENA Amp DAN Asm DAN Iss MAKA Isp.

Karena itu ketiga alasan Barbari adalah

Amp yang persamaannya adalah m = vp,

Asm yang persamaannya adalah s = wm dan

Iss yang persamaannya adalah xs = ys

Dengan mengeliminasi m dari ketiga persamaan itu, kita akan mendapatkan  xs = ywvp atau xs = up yang merupakan persamaan dari Isp. Jadi Barbari sekarang memang telah terbukti absah.

Silogisme yang lain misalnya Celaront juga mengandung asumsi eksistensi s, karena itu sebenarnya mengandung tiga buah alasan, yaitu:

Emp yang persamaannya vm=w(1-p),

Asm yang persamaannya s=um dan

Iss yang persamaannya adalah xs=xs.

Dengan mengeliminasi m dari ketiga persamaan itu, kita akan mendapatkan

 xs = vwux(1-p) atau xs = y(1-p)

yang merupakan persamaan dari Osp. Dengan demikian, Celaront kini telah terbukti keabsahannya.

Silogisme-silogisme lain yang namanya mengandung A dan I

dan yang mengandung A, E dan O dapat dibuktikan keabsahannya

dengan cara serupa, yaitu memasukkan eksistensi salah satu konsep

yang direpresentasikan oleh nama-nama variabel.

Catatan Akhir

Metoda pembuktian kalkulus elektif ini juga bisa dilakukan dengan

simbolisasi yang berbeda sedikit di mana TIDAK a bukannya

dinyatakan oleh 1-a tetapi oleh 1+a di mana + adalah simbol

matematik untuk XOR atau TIDAK EKIVALEN. Lebih sederhana lagi

jika TIDAK a disimbolkan oleh a'.

Dalam bentuk penyederhanaan yang terakhir ini, aljabar Boole

juga bisa dinyatakan sebagai permainan benda-benda di mana

variabel-variabel diganti dengan benda-benda yang berbeda-beda.

sedangkan operator TIDAK dinyatakan sebagai sebuah lembaran yang

diletakkan dibawah benda yang melambangkan operan yang ditidakkan.

Akhirnya, ternyata, sampai jugalah saya pada sebuah sistem representasi kongkret bagi aljabar logika yang sangat abstrak itu. Saya berharap, sistem permainan logika kongkret itu bisa diajarkan pada siswa SD, sehingga algoritma logika menjadi tertanam di bawah sadar pemikirannya sampai, jika di kemudian hari ketika dia menjelang dewasa, dia akan mudah mempelajari logika Boole yang begitu abstrak.