DIALOG LOGIKA KAUFFMAN

Armahedi Mahzar (c) 2011

Dalam dialog sebelum ini, ditemukan sebuah aljabar yang ajaib karena mengunakan KOSONG sebagai tanda dan tanda lainnya adalah gambar. Selanjutnya coba kita dengar dialog kakek-nenek guru saya tentang penyempurnaan aljabar gambar itu oleh Louis Kauffman .

Ni Suiti:
---------
Hai Algo. Tadi malam saya dapat ilham bagaimana caranya menyederhanakan penulisan hukum Aristoteles dan Hukum Boole yang dijadikan aksioma oleh Spencer-Brown.

Ki Algo:
--------
Bagaimana?

Ni Suiti:
---------
Ganti saja tanda "(" dengan "[" dan tanda ")'" dengan tanda "]" dalam kedua HUKUM tadi.

Ki Algo:
--------
Jadi?

Ni Suiti:
---------
Jadi hukum Aristoteles bisa ditulis jadi

[[a]a] =

dan hukum Distribusi Boole bisa ditulis sebagai

[[a][b]]c = [[ac][bc]]

Ki Algo:
--------
Ya, memang lebih sederhana. Daripada menggunakan tiga tanda (, ) dan ', sekarang aljabar logika hanya perlu dua tanda [ dan ].

Ni Suiti:
---------

Hebat kan?

Ki Algo:
--------
Memang hebat, tapi lebih hebat lagi Louis Kauffman yang notasinya lebih sederhana dari notasi kamu. Dia hanya butuh satu tanda saja yaitu KOTAK.

Ni Suiti:
---------
Hah ... ?

Ki Algo:
--------
Dia menyederhanakan TIDAK x yang dalam notasi baru kamu ditulis sebagai [x], menjadi
x dalam KOTAK.

Ni Suiti:
---------
Wah, tandanya jadi sebuah gambar KOTAK.

Ki Algo:
--------

Ya. Sebenarnya Kauffman hanya menyelesaikan gambar "cross" Spencer Brown, yang sebetulnya tak lain dari pada gambar setengah kotak, menjadi gambar KOTAK seutuhnya.

Ni Suiti:
---------
Kalau begitu aljabar Kauffman tidak lebih sederhana dong dari aljabar Brown. Apa hebatnya?

Ki Algo:
--------
Kalau hanya itu, memang aljabar Kauffman tidak lebih sederhana dari aljabar Brown. Tapi dia lebih hebat, dia menyederhanakan sistem aksioma aljabar Brown dengan cara mengurangi aksiomanya menjadi satu aksioma saja alias aksioma tunggal.

Ni Suiti:
---------
Apa itu aksiomanya?

Ki Algo:
--------
Aksiomanya adalah



Ni Suiti:
---------
Hebat. Apa nama aksioma itu?

Ki Algo:
--------
Namanya aksioma Huntington karena sebenarnya dia ditemukan oleh Huntington sebagai aksioma ketiga setelah hukum asosiasi dan hukum komutasi operasi DAN. Dari ketiga aksioma itu Huntington berhasil membuktikan semua identitas Boole sebagai dalil.

Ni Suiti:
---------
Pintar juga pak Kauffman itu. Dengan pakai notasi kotak yang merupakan notasi gambar itu, aksioma asosiasi dan komutasi tak diperlukan lagi karena sifat itu dipenuhi dengan sendirinya. Jadi akhirnya cukup satu aksioma saja untuk membuktikan alajabar logika Boole.

Ki Algo:
--------
Tampaknya aksioma itu kompleks sehingga tak bisa dimaknai secara kata-kata.

Ni Suiti:
---------
Coba saya terjemahkan dalam notasi [] saya dulu. Dalam notasi saya aksioma itu adalah

[[a]b][[a][b]] = a

Ki Algo:
--------
Kalau notasi kamu diterjemahkan dengan notasi Boole kita akan dapatkan

(a'  b)'  (a' b')' = a

Ki Algo:
--------
Dalam notasi logika simbolik ini bisa ditulis sebagai

a = (a'->b')(a'->b)

yang bisa disederhanakan jadi

a = (a' -> b) & (a' -> b')

Ni Suiti:
---------
Hah.... kalau dibaca dalam kata-kata itu kan berarti sebuah pernyataan BENAR jika dan hanya jika penyangkalannya menyimpulkan sebuah kontradiksi.

Ki Algo:
--------
Ya, itulah argumen logis yang digunakan filsuf-filsuf Yunani sebelum Aristoteles.
Argumen itu disebut REDUCTIO AD ABSURDUM.

Ni Suiti:
---------
Bukan main. Jadi, semua logika modern Boole pasca Aristoteles pada dasarnya adalah logika kuno pra-aristoteles.

Ki Algo:
--------
Dan Kauffman merumuskannya dalam bahasa gambar-gambar.

Ni Suiti:
---------
sehingga orang seni seperti saya bisa menikmatinya.

Ki Algo:
--------
Karena hari telah larut malam, marilah kita hentikan dalog kita tentang logika ini. Silahkan nikmati keindahan itu dalam mimpi :)

Begitulah dialog kakek nenek guru saya hari ini. Kita tunggu saja kelanjutannya.