Armahedi Mahzar (c) 2011

REDUCTIO AD ABSURDUM

Bagian 1

Salah satu cara untuk membuktikan suatu pernyataan adalah dengan menunjukkan bahwa penyangkalan atau negasi pernyataan tersebut menyebabkan suatu pertentangan alias kontradiksi. Cara pembuktian seperti ini dalam tradisi logika abad pertengahan disebut sebagai "reductio ad absurdum"

Saya sudah lama mengetahui teknik pembuktian seperti itu karena anak SMP di zaman dulu diajari ilmu ukur dan Euklides lah yang membangun ilmu ukur secara aksiomatik dan dia kata http://mathworld.wolfram.com/ReductioadAbsurdum.html sangatlah mencintai metoda reductio ad absurdum ini.

Tentu saja waktu itu saya tak mengetahui nama Latin dari metoda tersebut. Belakangan saya mengenal metoda itu dari pembuktian tentang adanya Tuhan menurut St. Anselmus di abad XII, jika Tuhan didefinisikan sebagai Yang Maha Sempurna. Kalau Tuhan tidak ada maka berarti Dia tidak memiliki ada yang berarti tidak Maha Sempurna dan ini adalah suatu kontradiksi: Yang Maha Sempurna itu tidak sempurna. Jadi Tuhan itu wajib adanya.

Nah, ketika saya belajar logika modern yaitu logika Boole saya sudah lupa akan metoda itu, dan saya jatuh cinta pada logika Boole karena sifatnya yang simetris Dualitas. Bagi saya inilah keindahan alam cita. Kecintaan akan simetri itu akhirnya menyebabkan saya meneliti simetri partikel elementer untuk tugas akhir S1 dan skripsi S2.

Salah satu prinsip lain selain prinsip simetri adalah prinsip ekonomi dalam satu ilmu. Jika ada dua buah teori, untuk menjelaskan berbagai peristiwa, yang satu lebih sedikit pengertian dasarnya dibanding teori yang lain, maka teori yang pertama disebut lebih ekonomis. Teori yang ekonomis lebih disukai ketimbang teori yang kompleks.

Geometri Euklides adalah sebuah sistem matematika yang ekonomis. Semua hubungan geometris yang benar dapat dibuktikan secara logis sebagai konsekuensi dari hanya lima buah pernyataan intuitif yang disebut aksioma. Sistem aksioma Euklides adalah model bagi matematika lainnya. Misalnya, Giuseppe Peano (1858-1932), matematikawan Itali, membuat sembilan buah aksioma bagi membuktikan semua pernyatan-pernyataan ilmu hitung.

Dalam rangkaian artikel berikut ini saya akan menceritakan jalan bahwa upaya mengaksiomakan aljabar logika yang ditemukan oleh Boole yang ternyata berujung pada sebuah sistem aksiomatika paling ekonomis yang hanya memiliki sebuah satu operasi tunggal dan satu aksioma tunggal yang bisa diinterpretasikan sebagai reductio ad absurdum.