REDUCTIO AD ABSURDUM

Armahedi Mahzar (c) 2011

Bagian 3 : Mengaksiomakan Aljabar Logika

Maka, Bertrand Russel (1872-1972) dan Alfred North Whitehead (1861-1947) bekerja bersama untuk melinierkan kembali aljabar Frege   dan berupaya membangun seluruh matematika dari hanya enam buah aksioma logika saja. Walaupun nanti Kurt Godel (1906-1978) membuktikan bahwa ilmu hitung tak mungkin dibangun melalui sistem aksiomatik, keenam aksioma mereka tetap merupakan aksioma yang ekonomis untuk aljabar logika Boolean. Dia cukup menggunakan dua konsep yang primitif, operasi ATAU dan operasi TIDAK, dan enam pernyataan primitif atau aksioma.
Walaupun jumlah aksioma logika hampir sama dengan jumlah aksioma geometri, jumlah itu bukanlah jumlah yang paling ekonomis. Misalnya saja, pada tahun 1913 Henry Maurice Sheffer (1882-1964) berhasil mengurangi jumlah aksioma menjadi empat dengan hanya satu operasi yaitu TIDAN (TIDAK DAN) alias NAND atau TATAU (TIDAK ATAU) alias NOR. Ini berarti bahwa sistem aksioma Sheffer merupakan sebuah penyederhanaan bagi sistem aksioma logika dalam Principia. Namun itu belum cukup sederhana.
Misalnya, Jean George Pierre Nicod , matematikawan Perancis, berhasil mereduksi sistem aljabar logika Sheffer itu menjadi sistem formal dengan hanya menggunakan tiga buah aksioma saja. Bahkan pada akhirnya dia kemudian dapat mereduksi sistemnya sendiri menjadi sistem logika simbolik berbasis sebuah aksioma tunggal dengan satu simbol saja yaitu NAND alias NOT-AND, di mana x NAND y ditulis sebagai x|y.
Namun sayangnya aksioma tunggal ini sangatlah panjang, melibatkan lima variabel dan sama sekali tidak lah intuitif karena menggunakan operasi NAND.

((a|(b|c))|((e|(e|e))|((d|b)|((a|d)|(a|d)))))

Melihat kompleksnya aksioma tunggal itu, maka tentu saja orang akan berusaha menyederhanakannya lebih lanjut.
Misalnya, pada tahun 1931, Jan Lukasiewicz (1878-1956) berhasil mengurangi jumlah variabel dalam rumus Nicod menjadi empat dalam aksioma tunggal

((P|(Q|R))|((S|(S|S))|((S|Q)|((P|S)|(P|S)))))

Walaupun lebih sederhana, tetap saja tidak intuitif seperti halnya aksioma-aksioma geometri Euklides. Untuk mengurangi jumlah variabel menjadi tiga, tampaknya, dibutuhkan bantuan komputer seperti yang akan diceritakan nanti pada artikel yang kemudian.